灰度图像形态学膨胀和腐蚀操作示例：平坦结构元素

已知某灰度图像 X=[6 5 9 3 5, 10 6 9 8 6, 3 7 1 7 7, 8 9 10 8 6, 10 6 1 2 9]，对于平坦结构元素 S=[1 1 1, 1 1 1, 1 1 1]（所有元素均一样），试问该灰度图像 X 进行形态学膨胀和腐蚀操作之后的图像矩阵分别是什么？/n/n提示：对于灰度图像 X 的边缘采用填充的方法，即对称填补。/n/n根据定义，形态学膨胀操作的结果为：/n/n$$ X//oplus S = //{z//mid S_z//cap X//neq//emptyset//} $$/n/n其中，$S_z$ 表示将结构元素 $S$ 中心对齐到位置 $z$ 时，$S$ 中与 $X$ 重叠的部分。同理，形态学腐蚀操作的结果为：/n/n$$ X//ominus S = //{z//mid S_z//subseteq X//} $$/n/n由于结构元素 $S$ 是平坦的，因此在对称填补边缘时，填充的值为结构元素的中心值，即 1。填充后的灰度图像为：/n/n$$ X' = //begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1//// 1 & 6 & 5 & 9 & 3 & 5 & 1//// 1 & 10 & 6 & 9 & 8 & 6 & 1//// 1 & 3 & 7 & 1 & 7 & 7 & 1//// 1 & 8 & 9 & 10 & 8 & 6 & 1//// 1 & 10 & 6 & 1 & 2 & 9 & 1//// 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 /end{bmatrix} $$/n/n对于形态学膨胀操作，首先将结构元素 $S$ 中心对齐到灰度图像的每一个位置，然后将 $S$ 中与 $X$ 重叠的部分取并集。具体地，对于位置 (2, 2)，有：/n/n$$ //begin{bmatrix} 1 & 1 & 1//// 1 1 1//// 1 & 1 & 1 /end{bmatrix}//cap //begin{bmatrix} 6 & 5 & 9//// 10 & 6 & 9//// 3 & 7 & 1 /end{bmatrix} = //begin{bmatrix} 6 & 5 & 9//// 10 & 6 & 9//// 3 & 7 & 1 /end{bmatrix} $$/n/n同理，可以得到其他位置的结果，最终形态学膨胀操作的结果为：/n/n$$ X//oplus S = //begin{bmatrix} 6 & 6 & 9 & 9 & 9 & 9 & 5//// 10 & 10 & 10 & 9 & 9 & 9 & 8//// 10 & 10 & 10 & 9 & 9 & 9 & 8//// 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 8 & 8//// 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9//// 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9//// 8 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 9 /end{bmatrix} $$/n/n对于形态学腐蚀操作，首先将结构元素 $S$ 中心对齐到灰度图像的每一个位置，然后判断 $S$ 是否完全包含在 $X$ 中。具体地，对于位置 (2, 2)，有：/n/n$$ //begin{bmatrix} 1 & 1 & 1//// 1 1 1//// 1 & 1 & 1 /end{bmatrix}//subseteq //begin{bmatrix} 6 & 5 & 9//// 10 & 6 & 9//// 3 & 7 & 1 /end{bmatrix} $$/n/n因此，该位置的结果为 1。同理，可以得到其他位置的结果，最终形态学腐蚀操作的结果为：/n/n$$ X//ominus S = //begin{bmatrix} 5 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1//// 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1//// 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1//// 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1//// 8 & 7 & 7 & 7 & 1 & 1 & 1//// 10 & 9 & 9 & 9 & 6 & 1 & 1//// 10 & 10 & 9 & 6 & 6 & 2 & 1 /end{bmatrix} $$/n/n