曲线积分计算：以 (e^xSiny-my)dx+(e^xCosy-m)dy 为例

首先对曲线参数化，令$x=a+/cos t,y=/sin t$，则参数化为$/gamma(t)=(a+/cos t,/sin t)$，$t/in[0,/pi]$。/n/n然后计算$/mathrm{d}/gamma=(/mathrm{d}x,/mathrm{d}y)=(-/sin t,/cos t)/mathrm{d}t$。/n/n代入积分式得：$$/begin{aligned}/int_L(e^x/sin y-m y)/mathrm{d}x+(e^x/cos y-m)/mathrm{d}y&=/int_0^/pi(e^{a+/cos t}/sin/sin t-my)(-/sin t)/mathrm{d}t+(e^{a+/cos t}/cos/sin t-m)(/cos t)/mathrm{d}t//&=/int_0^/pi(-e^{a+/cos t}/sin^2 t+m/sin t)/mathrm{d}t+(e^{a+/cos t}/cos/sin t-m/cos t)/mathrm{d}t/end{aligned}$$ /n/n对第一个式子进行分部积分，得：$$/begin{aligned}/int_0^/pi-e^{a+/cos t}/sin^2t/mathrm{d}t&=/int_0^/pi-e^{a+/cos t}(1-/cos^2t)/mathrm{d}(/cos t)//&=/left[e^{a+/cos t}(1-/cos t)/right]_0^/pi//&=e^a(1+1)-e^{a+1}(1-1)//&=2e^a/end{aligned}$$ /n/n对第二个式子进行分部积分，得：$$/begin{aligned}/int_0^/pi e^{a+/cos t}/cos/sin t/mathrm{d}t&=/int_0^/pi e^{a+/cos t}/mathrm{d}(/sin t)//&=/left[e^{a+/cos t}/sin t/right]_0^/pi//&=0/end{aligned}$$ /n/n因此，所求积分为：$$/int_L(e^x/sin y-m y)/mathrm{d}x+(e^x/cos y-m)/mathrm{d}y=2e^a$$