Matlab 求幂级数 ∑0 到 n (n+1)x^n 收敛域及和函数

首先我们可以计算幂级数的通项公式：/n/n$$a_n = (n+1)x^n$$/n/n然后我们可以应用比值判别法来求解该幂级数的收敛域：/n/n$$/lim_{n/rightarrow/infty}/frac{a_{n+1}}{a_n} = /lim_{n/rightarrow/infty}/frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)x^n} = /lim_{n/rightarrow/infty}(n+2)x = /infty$$/n/n当该极限存在且小于1时，原幂级数收敛；当该极限存在且大于1时，原幂级数发散；当该极限等于1时，原幂级数可能收敛也可能发散，需要进一步求解。/n/n因此，当 $x=0$ 时，原幂级数收敛；当 $x/neq0$ 时，原幂级数发散。/n/n接下来，我们可以求解幂级数的和函数。首先将幂级数展开：/n/n$$/begin{aligned} S(x) &= /sum_{n=0}^/infty (n+1)x^n // &= /sum_{n=0}^/infty nx^n + /sum_{n=0}^/infty x^n // &= x/sum_{n=1}^/infty nx^{n-1} + /frac{1}{1-x} // &= x/frac{d}{dx}/sum_{n=0}^/infty x^n + /frac{1}{1-x} // &= x/frac{d}{dx}/frac{1}{1-x} + /frac{1}{1-x} // &= /frac{x}{(1-x)^2} + /frac{1}{1-x} // &= /frac{x+1}{(1-x)^2} /end{aligned}$$/n/n因此，原幂级数的和函数为：/n/n$$S(x) = /frac{x+1}{(1-x)^2},/quad x/in(-/infty,0)/cup(0,1)$$