幂级数 ∑(n+1)x^n 的收敛域及和函数求解

首先，将幂级数 ∑0到n (n+1)x^n 写成通项公式的形式，得到：/n/n$$a_n = n+1$$/n/n接下来，应用比值测试来求解收敛域：/n/n$$/lim_{n/to/infty}/left|/frac{a_{n+1}}{a_n}/right|=/lim_{n/to/infty}/left|/frac{n+2}{n+1}/right|=1$$/n/n由于比值测试的结果为1，因此需要进一步考虑边界处的收敛性。当 x=1 时，级数变成了发散的调和级数，因此收敛域为：/n/n$$-1<x/leq1$$/n/n接下来，我们可以求出幂级数的和函数：/n/n$$/begin{aligned} S(x) &= /sum_{n=0}^{/infty}(n+1)x^n // &= x/sum_{n=0}^{/infty}(n+1)x^{n-1} // &= x/frac{d}{dx}/sum_{n=0}^{/infty}x^n // &= x/frac{d}{dx}/left(/frac{1}{1-x}/right) // &= /frac{x}{(1-x)^2} /end{aligned}$$/n/n因此，幂级数 ∑0到n (n+1)x^n 的收敛域为 -1<x≤1，和函数为 S(x) = x/(1-x)²。