函数序列 (x-1/n)^2 一致收敛吗？

首先，我们需要明确函数序列是什么。假设函数序列为 {f_n(x) = (x-1/n)^2}，其中 n 是序列的索引。

我们需要检查该函数序列是否一致收敛。一致收敛是指，对于任何 ε > 0，存在一个正整数 N，使得当 n ≥ N 时，对于所有的 x，有 |f_n(x) - f(x)| < ε。

我们首先计算出极限函数 f(x)。当 n 趋近于无穷大时，1/n 趋近于 0，因此 f_n(x) 趋近于 (x-0)^2 = x^2。因此，极限函数为 f(x) = x^2。

接下来，我们尝试证明函数序列一致收敛。对于任何 ε > 0，我们需要找到一个正整数 N，使得当 n ≥ N 时，对于所有的 x，有 |f_n(x) - f(x)| < ε。

考虑以下三种情况：

当 x = 0 时，我们有 |f_n(x) - f(x)| = |(0-1/n)^2 - 0| = 1/n^2。因此，当 n > 1/√ε 时，有 |f_n(x) - f(x)| < ε。
当 x ≠ 0 且 |x| < 1 时，我们有 |f_n(x) - f(x)| = |(x-1/n)^2 - x^2| = |x-1/n|*|x+1/n-2x|。因为 |x| < 1，所以 |x+1/n-2x| < 1+1/n < 2。因此，当 n > 2/ε 时，有 |f_n(x) - f(x)| < ε。
当 |x| ≥ 1 时，我们有 |f_n(x) - f(x)| = |(x-1/n)^2 - x^2| = (x-1/n+x)(1/n-x) ≤ (2/n)|x|。因此，当 n > 2/ε 时，有 |f_n(x) - f(x)| < ε。

因此，我们可以取 N = max{1/√ε，2/ε}，即可证明函数序列一致收敛。