混合高斯分布样本统计分析：超过 3 的概率仿真

首先，给出混合高斯混合 PDF 的表达式：

$$\ f(x)=\frac{1-\epsilon}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right)+\frac{\epsilon}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right)\ $$\

其中，$\mu_1$ 和 $\mu_2$ 分别为两个高斯分布的均值，$\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 分别为两个高斯分布的标准差，$\epsilon$ 为混合系数，表示第二个高斯分布在总体中的比重。

根据题目中的要求，我们可以先生成一组符合上述混合高斯分布的样本数据，并计算超过 3 的概率。具体步骤如下：

定义参数：$\mu_1=0$，$\mu_2=2$，$\sigma_1=1$，$\sigma_2$ 和 $\epsilon$ 根据题目要求进行调整。
生成样本数据：

N = 100000;  // 样本数
x = zeros(N, 1);
for i = 1:N
    if rand() <= epsilon
        x(i) = mu_2 + sigma_2 * randn();
    else
        x(i) = mu_1 + sigma_1 * randn();
    end
end

其中，rand() 函数生成一个 0~1 之间的随机数，如果小于等于 $\epsilon$，就从第二个高斯分布中生成样本数据，否则从第一个高斯分布中生成。

计算超过 3 的概率：

p = sum(abs(x) > 3) / N;

其中，sum(abs(x) > 3) 表示样本中绝对值大于 3 的个数，除以样本总数 N 即可得到超过 3 的概率。

对不同的 $\sigma_2$ 和 $\sigma_1$ 进行仿真分析：

sigma1_range = 0.1:0.1:2;  // sigma1 取值范围
sigma2_range = 1:0.1:4;    // sigma2 取值范围
P = zeros(length(sigma1_range), length(sigma2_range));  // 存储超过 3 的概率
for i = 1:length(sigma1_range)
    for j = 1:length(sigma2_range)
        sigma1 = sigma1_range(i);
        sigma2 = sigma2_range(j);
        if sigma2 <= sigma1
            continue;  // sigma2 必须大于 sigma1
        end
        f = @(x) (1-epsilon)*normpdf(x, mu_1, sigma1) + epsilon*normpdf(x, mu_2, sigma2);  // PDF 函数
        P(i, j) = integral(f, 3, inf);  // 计算超过 3 的概率
    end
end

其中，integral() 函数用于计算积分，这里用来计算超过 3 的概率。最后，我们可以使用 surf() 函数绘制三维图像，观察不同参数下的超过 3 的概率情况：

figure;
surf(sigma2_range, sigma1_range, P');
xlabel('\sigma_2');
ylabel('\sigma_1');
zlabel('P(|x|>3)');

完整代码如下：