求解函数 a^x + (a+1)^x 在 (0, +∞) 上单调递增的 a 的取值范围

首先可以知道，当 a=0 时，a^x+(a+1)^x=1+(1+x)>1，不符合函数单调递增的条件，因此 a>0。

接下来考虑函数的导数：

f'(x) = a^x ln a + (a+1)^x ln(a+1)

由于函数单调递增，所以 f'(x)>0，即：

a^x ln a + (a+1)^x ln(a+1) > 0

移项得：

(a+1)^x ln(a+1) > -a^x ln a

注意到 a>0，所以可以将式子两边取对数：

x ln(a+1) > x ln(-a) - ln a

再移项化简：

ln(a+1) > ln(a^x/(a+1)^x + 1)

将 ln(a+1) 和 ln(a^x/(a+1)^x + 1) 分别作为函数的图像，可以发现它们的交点是在 x=0 处，且 ln(a+1) 的斜率大于 ln(a^x/(a+1)^x + 1) 的斜率。因为函数单调递增，所以只需要让交点右侧的部分满足条件即可。

因此，可以得到：

ln(a+1) > ln(a/(a+1) + 1)

化简得：

a+1 > a/(a+1) + 1

解得：

a > (√5-1)/2

所以 a 的取值范围是：a > (√5-1)/2。