求解递推关系式 f(n)-1/2f(n-1)=1/2(f(n-1)-1/2f(n-2))

首先，将等式两边都乘以2，化简得：/n/n$$2f(n)-f(n-1)=f(n-1)-/frac{1}{2}f(n-2)$$/n/n移项得：/n/n$$2f(n)=2f(n-1)+/frac{1}{2}f(n-2)$$/n/n再将等式两边都除以$2^n$，得到：/n/n$$/frac{f(n)}{2^n}=/frac{f(n-1)}{2^{n-1}}+/frac{f(n-2)}{2^{n+1}}$$/n/n令$a_n=/frac{f(n)}{2^n}$，则有：/n/n$$a_n=a_{n-1}+/frac{a_{n-2}}{4}$$/n/n这是一个非齐次线性递推关系式，可以用特征方程的方法求解。假设$a_n=r^n$，则特征方程为：/n/n$$r^n=r^{n-1}+/frac{1}{4}r^{n-2}$$/n/n化简得：/n/n$$4r^2-4r-1=0$$/n/n解得：/n/n$$r_1=1+/frac{1}{/sqrt{2}},/quad r_2=1-/frac{1}{/sqrt{2}}$$/n/n所以：/n/n$$a_n=c_1/left(1+/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n+c_2/left(1-/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n$$/n/n由于$f(0)=1$，$f(1)=2$，可以得到：/n/n$$a_0=1,/quad a_1=1$$/n/n代入上式得：/n/n$$/begin{cases}c_1+c_2=1// c_1/left(1+/frac{1}{/sqrt{2}}/right)+c_2/left(1-/frac{1}{/sqrt{2}}/right)=1/end{cases}$$/n/n解得：/n/n$$c_1=/frac{1+/sqrt{2}}{2/sqrt{2}},/quad c_2=/frac{1-/sqrt{2}}{2/sqrt{2}}$$/n/n所以：/n/n$$a_n=/frac{1}{2/sqrt{2}}/left[/left(1+/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n-/left(1-/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n/right]$$ /n/n最终结果为：/n/n$$f(n)=2^n/cdot a_n=2^{n+1}/cdot/frac{1}{2/sqrt{2}}/left[/left(1+/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n-/left(1-/frac{1}{/sqrt{2}}/right)^n/right]$$