数字图像处理低通滤波计算题 - 详解及实例

数字图像处理低通滤波计算题 - 详解及实例

本题讲解数字图像处理中低通滤波的计算方法，并提供一个 $5 \times 5$ 图像的低通滤波实例，帮助你理解如何使用滤波器对图像进行平滑处理。

问题描述:

将一个大小为 $5 \times 5$ 的图像进行低通滤波，滤波器为：

$$\begin{bmatrix}\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ \end{bmatrix}$$

滤波器的中心点对应于图像的每个像素。如果图像像素值为 $I(x,y)$，则滤波后的像素值为：

$$I'(x,y) = \frac{1}{16}(I(x-2,y-2)+2I(x-1,y-2)+2I(x,y-2)+2I(x+1,y-2)+I(x+2,y-2) \ +2I(x-2,y-1)+4I(x-1,y-1)+4I(x,y-1)+4I(x+1,y-1)+2I(x+2,y-1) \ +2I(x-2,y)+4I(x-1,y)+8I(x,y)+4I(x+1,y)+2I(x+2,y) \ +2I(x-2,y+1)+4I(x-1,y+1)+4I(x,y+1)+4I(x+1,y+1)+2I(x+2,y+1) \ +I(x-2,y+2)+2I(x-1,y+2)+2I(x,y+2)+2I(x+1,y+2)+I(x+2,y+2))$$

其中，$I(x,y)$ 表示图像在位置 $(x,y)$ 上的像素值，$I'(x,y)$ 表示滤波后的像素值。

原始图像:

$$\begin{bmatrix}\ 10 & 20 & 30 & 40 & 50 \ 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \ 110 & 120 & 130 & 140 & 150 \ 160 & 170 & 180 & 190 & 200 \ 210 & 220 & 230 & 240 & 250 \ \end{bmatrix}$$

计算过程:

由于滤波器的大小为 $5 \times 5$，而图像也为 $5 \times 5$，因此滤波后的图像大小也为 $5 \times 5$。

以图像中心像素 $(3,3)$ 为例，计算滤波后的像素值 $I'(3,3)$：

$$I'(3,3) = \frac{1}{16}(10 + 2 * 20 + 2 * 30 + 2 * 40 + 50 + 2 * 60 + 4 * 70 + 4 * 80 + 4 * 90 + 2 * 100 + 2 * 110 + 4 * 120 + 8 * 130 + 4 * 140 + 2 * 150 + 2 * 160 + 4 * 170 + 4 * 180 + 4 * 190 + 2 * 200 + 210 + 2 * 220 + 2 * 230 + 2 * 240 + 250) = 130$$

同理，可以计算出其他像素点的滤波后像素值，最终得到滤波后的图像：

$$\begin{bmatrix}\ 70 & 80 & 90 & 100 & 110 \ 80 & 90 & 100 & 110 & 120 \ 90 & 100 & 110 & 120 & 130 \ 100 & 110 & 120 & 130 & 140 \ 110 & 120 & 130 & 140 & 150 \ \end{bmatrix}$$

结果分析:

通过低通滤波，图像变得更加平滑，高频信息被抑制，例如图像边缘和噪点。这是因为滤波器对像素值进行了加权平均，将周围像素值的影响平均到当前像素上，从而降低了图像的细节和噪声。

注意:

在实际应用中，滤波器大小和权重系数可以根据需要进行调整，以达到不同的平滑效果。