波士顿房价预测：主成分分析与回归模型

本次实验使用R语言中的MASS包，通过对波士顿周围506个街区的13个指标进行主成分分析，探索各指标之间的关系和对房价中位数的影响。

主成分分析

首先对13个指标进行主成分分析，求出特征值和特征向量，并绘制碎石图，以确定合适的主成分个数。通过观察碎石图发现，前6个特征值大于1，说明可以选择前6个主成分作为解释变量。接着做出前2个主成分的载荷图，尝试给各个主成分命名。根据载荷图的分布情况，第一主成分可以命名为'城市状况'，主要受到城市犯罪率、非零售商用土地比例和地位较低者比例等因素的影响；第二主成分可以命名为'房屋状况'，主要受到房屋平均房间数、住宅用地比例和自用房屋比例等因素的影响。

接着做出观测值的主成分得分图，以便综合评估和排序506个街区。通过观察主成分得分图，可以发现第一主成分得分高的街区，一般房价中位数较低；第二主成分得分高的街区，一般房价中位数较高。

主成分回归模型

最后，以房价中位数为影响变量，以前13个指标为解释变量，建立主成分回归模型，并写出回归方程。通过与最小二乘估计结果作对比，可以发现主成分回归模型的拟合效果更好，能够更好地解释指标之间的关系和对房价的影响。