复数幂级数：定义、收敛性及求和

复数的幂级数是指形如$//sum_{n=0}^{//infty}a_nz^n$的级数，其中$a_n$和$z$都是复数。通常我们会考虑幂级数在某个复数$z_0$附近的收敛性和求和问题。/n/n幂级数的收敛性可以通过求解其收敛半径来确定。收敛半径$R$的定义为：/n/n$$R=//frac{1}{//limsup_{n//rightarrow//infty}//sqrt[n]{|a_n|}}$$ /n/n其中，$//limsup_{n//rightarrow//infty}//sqrt[n]{|a_n|}$表示幂级数的项数无穷大时，其各项绝对值的$n$次方根的上极限。/n/n当$|z-z_0|<R$时，幂级数绝对收敛，当$|z-z_0|>R$时，幂级数发散，当$|z-z_0|=R$时，收敛性需要单独考虑（通常称为收敛圆周上的边界情况）。/n/n求解幂级数的和，可以使用幂级数展开的形式：/n/n$$//frac{1}{1-z}=//sum_{n=0}^{//infty}z^n,/ |z|<1$$ /n/n这个公式也称为几何级数公式。在此基础上，我们可以通过对幂级数进行求导、积分、乘法等操作来得到更多的幂级数展开公式。