克鲁斯卡尔算法求解多根节点最小生成树 - MATLAB 实现

克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法。该算法的基本思路是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，直到生成树中包含所有节点为止。在加入边的过程中需要判断加入该边是否会形成环，如果会形成环则不能加入，直到找到一条不会形成环的边才能加入。

对于多个根节点的情况，可以将根节点看作是一个超级节点，然后将所有根节点之间的边加入到边集中，然后按照克鲁斯卡尔算法的流程求解最小生成树。

下面给出 MATLAB 代码实现：

function [tree, cost] = multi_root_MST(graph, roots)
% graph: 邻接矩阵表示的图
% roots: 所有根节点的下标
% tree: 最小生成树的邻接矩阵表示
% cost: 最小生成树的权值

% 将所有根节点看作是一个超级节点，将所有根节点之间的边加入到边集中
edges = [];
for i = 1:length(roots)
    for j = i+1:length(roots)
        edges(end+1,:) = [roots(i), roots(j), graph(roots(i), roots(j))];
    end
end

% 将所有边按照权值从小到大排序
edges = sortrows(edges, 3);

% 初始化并查集
n = size(graph, 1);
parent = 1:n;
rank = zeros(1, n);

% 依次加入边，直到生成树中包含所有节点为止
count = 0;
i = 1;
while count < n-1 && i <= size(edges, 1)
    u = edges(i, 1);
    v = edges(i, 2);
    w = edges(i, 3);
    i = i + 1;
    
    % 判断加入该边是否会形成环
    pu = find(parent, u);
    pv = find(parent, v);
    if pu ~= pv
        count = count + 1;
        tree(u, v) = w;
        tree(v, u) = w;
        union(parent, rank, pu, pv);
    end
end

cost = sum(sum(tree));
end

function root = find(parent, i)
% 查找节点i的根节点
if parent(i) == i
    root = i;
else
    root = find(parent, parent(i));
end
end

function union(parent, rank, x, y)
% 合并x和y所在的集合
px = find(parent, x);
py = find(parent, y);
if rank(px) > rank(py)
    parent(py) = px;
elseif rank(px) < rank(py)
    parent(px) = py;
else
    parent(px) = py;
    rank(py) = rank(py) + 1;
end
end
end

使用示例：

% 生成一个随机图
n = 10;
p = 0.3;
graph = rand(n) < p;
graph = triu(graph, 1);
graph = graph + graph';

% 设置根节点
roots = [1, 3, 5];

% 求解最小生成树
[tree, cost] = multi_root_MST(graph, roots);

注意事项：

• 如果图不连通，则最小生成树可能不包含所有节点。
• 如果存在多个根节点之间无法到达的节点，则最小生成树可能不包含这些节点。