弱收敛与一致有界性：反例分析

在'L^∞(0, + ∞; L^2(Ω))'上，'u_n'弱收敛到'u'；能推出'|'u_n|'在'L^∞(0, + ∞; L^(m + 1)(Ω))'上一致有界吗？其中 m+1>2

不一定。考虑以下反例：

取 Ω=(-1,1)，u_n(x)=1/n sin(nx)，u(x)=0，则有 u_n→u 弱收敛。

但是，对于 m+1>2，我们有

||u_n||_L^∞(0,+∞;L^(m+1)(Ω))=(∫_0^(+∞) ||u_n(t)||_L^(m+1)(Ω)^(m+1) dt)^(1/(m+1))=(∫_0^(+∞) 1/n^(m+1) sin^(m+1)(nt) dt)^(1/(m+1))

取 t_n=π/(2n)，则 t_n→0 且 sin t_n=1，于是 ||u_n||_L^∞(0,+∞;L^(m+1)(Ω))≥ 1/n (π/2)^(1/(m+1))

因此，||u_n||_L^∞(0,+∞;L^(m+1)(Ω)) 不一定是一致有界的。