(s,S) 随机库存模型最优进货策略分析及模拟

在 (s,S) 随机库存模型中，我们得到在决定进货，最优的进货量应当考虑上一周期的剩余货物，使得本周期期初的总供量 S 满足：∫𝜌(r)S0∙dr=(b-a)/[c1+(b-a)]。这里顾客在一周时间内对该物品的需求量 r 是一随机变量，𝜌(r) 表示随机变量 r 的概率密度函数；商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费 c0，其取值与进货数量无关；每件商品在一周的贮存费 c1。a、b 分别表示一件商品的购进价格和售出价格。我们发现 S 的确定与订货费 c0 无关，这与实际情况不一致。你试着解释其原因。我们倾向于将盘点周期与进货周期（这里从统计意义上加以理解），你试着通过计算机模拟的方法计算如下算例的最优进货策略：需求量 r 服从期望值为 1000、均方差为 200 的正态分布，b-a=1，c0 分别取 10、100、10000；c1 分别取 0.1、0.3、0.7、2.0 时，即总共 3×4=12 种情形下最优的 (s,S) 取值。

订货费 c0 在确定进货量时不影响总供量 S 的原因是因为订货费 c0 与进货量无关，所以在确定进货量时，订货费 c0 不会影响最优进货量的选择。

为了计算最优的 (s,S) 取值，可以采用动态规划的方法。具体来说，可以将时间离散化，设第 t 个周期的剩余货物为 St，本周期订货量为 st，则有：

St+1=St+st-dt，其中 dt 为第 t 个周期的需求量。

每个周期的成本为：

c0st+c1(St+st-St-1)。

目标是最小化总成本：

∑t(c0st+c1(St+st-St-1))。

可以用动态规划来求解最优的 (s,S) 策略。具体来说，设 f(t,S) 为第 t 个周期剩余货物为 S 时的最小成本，则有：

f(t,S)=min s(c0s+c1(S+s-S-1)+𝔼[f(t+1,S+s-d)])，其中 𝔼 表示期望。

其中，s 的取值范围为 [0,rmax-S+], 其中 rmax 为需求量的最大值。初始状态为 f(T,S)=0。

最优的 (s,S) 策略即为使得 f(0,S) 最小的 (s,S) 取值。

采用上述方法，可以计算出 12 种情况下的最优的 (s,S) 取值。