三角函数证明：正弦函数性质解析

由定义可得，正弦函数 'sin x' 的定义域为 'ℝ'，值域为 '[-1,1]'。

证明：

1. 'sin 0=0'

根据正弦函数的定义，'sin 0=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\dfrac{0}{\text{斜边}}=0'。

2. 'sin \dfrac{\pi}{2}=1'

根据正弦函数的定义，'sin \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\dfrac{1}{\text{斜边}}=1'，其中 '\text{斜边}=1'。

3. 'sin x=sin(\pi -x)'

根据正弦函数的定义，'sin x=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'，'sin (\pi -x)=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'。因为 'sin x' 和 'sin (\pi -x)' 分别表示同一直角三角形的对边与斜边之比，所以 'sin x=sin(\pi -x)'。

4. 'sin(-x)=-sin x'

根据正弦函数的定义，'sin(-x)=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'，'sin x=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'。由于 '-x' 和 'x' 处于同一直角三角形中，但是对边的方向相反，所以 'sin(-x)=-sin x'。

5. 'sin(x+2\pi)=sin x'

根据正弦函数的定义，'sin(x+2\pi)=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'，'sin x=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}'。因为 'x' 和 'x+2\pi' 处于同一直角三角形中，所以 'sin(x+2\pi)=sin x'。

综上所述，正弦函数满足上述五个性质。