拉格朗日定理证明：中值定理详解

拉格朗日定理又称中值定理，是微积分中的一项基本定理，表明在某些条件下，函数在两个点之间的斜率等于函数的导数在某个点的值。下面是拉格朗日定理的证明：

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，a<x<b，则存在ξ∈(a,b)，使得：

(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ)

证明：

令F(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a)

则F(a)=f(a),F(b)=f(b)，且有：

F'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)

因为f(x)在(a,b)内可导，所以F'(x)也在(a,b)内可导。

根据罗尔定理，F(x)在(a,b)内必有极值点ξ，即F'(ξ)=0。

由于F'(ξ)=f'(ξ)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0，所以：

(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ)

证毕。