单输入单输出系统最小拍控制序列设计 - 输出反馈法

首先，根据系统状态方程，可以求出系统的传递函数：

$$\G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\frac{s+1}{s^2+s-1}$$

由于系统采样周期为1s，需要将传递函数离散化，可以采用零阶保持法：

$$\G(z)=G(s)\bigg|_{s=\frac{z-1}{T}}=\frac{z+1}{z^2+z-1}$$

根据输出反馈控制器的一般形式：

$$\u(t)=Fy(t)+Kr(t)$$

其中，$F$和$K$是待求参数。代入系统状态方程和输出方程，可以得到：

$$\begin{aligned}\u(t)&=Fy(t)+Kr(t)=FCx(t)+Kr(t)\&=FC(\phi x(t)+\gamma u(t))+Kr(t)\&=FC\gamma u(t)+FC\phi x(t)+Kr(t)\end{aligned}$$

将上式中的$u(t)$移到左边得：

$$(I-FC\gamma)u(t)=FC\phi x(t)+Kr(t)$$

设$G(z)$的零点为$z_1=-0.618$，极点为$z_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。由于系统是可控的，因此可以将极点全部放在单位圆内，以保证系统稳定。为了简化计算，可以选择将极点放在$z=0.8$处。根据输出反馈控制器的极点配置法，可以得到：

$$\F=\begin{bmatrix}-0.2&-2.6\end{bmatrix},K=-2.4$$

将$F$和$K$代入上式，得到最小拍控制序列：

$$\u(t)=\begin{bmatrix}-0.2&-2.6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\x_2(t)\end{bmatrix}-2.4r(t)$$