证明：当矩阵 A 的行列式为零时，其伴随矩阵的行列式也为零

设矩阵 A 的行列式为 0，则根据行列式的定义可知，A 的某一行（假设为第 i 行）可以表示为其它行的线性组合，即：

$$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=0$$

其中，$A_{ij}$ 为 A 矩阵的代数余子式，$a_{ij}$ 为 A 矩阵的第 i 行第 j 列元素。

根据伴随矩阵的定义可知，A 的伴随矩阵 $A^*$ 的第 i 行为：

$$A^{i1}=(-1)^{i+1}A{1i}$$ $$A^{i2}=(-1)^{i+2}A{2i}$$ $$...$$ $$A^*{in}=(-1)^{i+n}A{ni}$$

则 $A^*$ 的行列式为：

$$|A^|=A^{11}A^*{22}...A^*{nn}$$ $$=(-1)^{1+n}A{1n}(-1)^{2+n}A_{2n}...(-1)^{n+n}A_{nn}$$ $$=(-1)^nA_{1n}A_{2n}...A_{nn}$$

由于 A 的行列式为 0，所以 $A_{1n}A_{2n}...A_{nn}=0$，因此 $|A^*|=0$，证毕。