用排斥原理求解学生打球问题 - 详细步骤和解题思路

首先，根据题目中的信息，我们可以画出以下的 Venn 图：

其中，$A$ 表示会打篮球的学生，$B$ 表示会打排球的学生，$C$ 表示会打网球的学生。我们要求的是不会打球的学生数，即 $A^c \cap B^c \cap C^c$。

根据排斥原理，我们可以先求出 $A \cup B \cup C$，即会打篮球或排球或网球的学生数。根据 Venn 图，我们可以列出以下式子：

$$\begin{aligned}|A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\ &= 14 + 12 + 6 - 6 - 5 - 6 + 2\ &= 17\ \end{aligned}$$

其中 $|S|$ 表示集合 $S$ 中元素的个数。

再根据题目中的信息，我们知道 $6$ 个会打网球的人会打篮球或排球，因此 $C \subseteq (A \cup B)$。于是，我们可以把上面的式子改写为：

$$\begin{aligned}|A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\ &= 14 + 12 + 6 - 6 - 5 - 6 + 2 + |C \setminus (A \cup B)|\ &= 17 + |C \setminus (A \cup B)|\ \end{aligned}$$

其中 $C \setminus (A \cup B)$ 表示会打网球但不会打篮球或排球的学生数。

于是，我们有：

$$|C \setminus (A \cup B)| = |A \cup B \cup C| - 17 = 6$$

最后，根据全集大小为 $25$，我们可以得出不会打球的学生数为：

$$|A^c \cap B^c \cap C^c| = 25 - |A \cup B \cup C| = 8$$

因此，不会打球的学生数为 $8$。