三维空间中心差分计算微分算子模 - 详细步骤和公式

假设两个离散采样点为 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$，它们之间的距离为 $h$。则中心差分算子可以表示为：

$$\frac{\partial}{\partial x} \approx \frac{f(x_2,y_1,z_1) - f(x_1,y_1,z_1)}{h} \ \frac{\partial}{\partial y} \approx \frac{f(x_1,y_2,z_1) - f(x_1,y_1,z_1)}{h} \ \frac{\partial}{\partial z} \approx \frac{f(x_1,y_1,z_2) - f(x_1,y_1,z_1)}{h}$$

其中 $f(x,y,z)$ 表示在三维空间中的函数值。根据定义，两个离散采样点的微分算子模为：

$$\left|\nabla f\right| \approx \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2} \ \approx \sqrt{\left(\frac{f(x_2,y_1,z_1) - f(x_1,y_1,z_1)}{h}\right)^2 + \left(\frac{f(x_1,y_2,z_1) - f(x_1,y_1,z_1)}{h}\right)^2 + \left(\frac{f(x_1,y_1,z_2) - f(x_1,y_1,z_1)}{h}\right)^2} $$

这样就可以用中心差分计算出两个离散采样点微分算子的模了。