简单回归模型中截距项估计量的一致性证明

在简单回归模型教材(5.16)中，我们在前4个高斯-马尔科夫假定下证明了，形如教材(5.17)的估计量是斜率β1的一致估计量。给定这样一个估计量，定义β1的一个估计量为/n/n$$ /hat{/beta}_0 = /bar{Y} - /hat{/beta}1 /bar{X} $$ /n/n其中，/n/n$$ /hat{/beta}1 = /frac{/sum{i=1}^n (X_i-/bar{X})(Y_i-/bar{Y})}{/sum{i=1}^n (X_i-/bar{X})^2} $$/n/n我们需要证明plim$/hat{/beta}_0$=$/beta_0$。/n/n根据教材(5.17)的估计量可以得到：/n/n根据大数定律，当n趋近于无穷大时，$/bar{X}$和$/bar{Y}$会以概率1收敛于它们的期望值，即$E(X)$和$E(Y)$。因此，/n/n$$ /hat{/beta}_0 = /bar{Y} - /hat{/beta}_1 /bar{X} /xrightarrow{p} E(Y) - /beta_1 E(X) $$ /n/n由于我们假设了高斯-马尔科夫假定，因此$/hat{/beta}_1$是斜率β1的一致估计量。因此，/n/n$$ /hat{/beta}_1 /xrightarrow{p} /beta_1 $$ /n/n进一步地，/n/n$$ /hat{/beta}_0 /xrightarrow{p} E(Y) - /beta_1 E(X) = /beta_0 $$ /n/n因此，plim$/hat{/beta}_0$=$/beta_0$成立，证毕。