简化二次方程 x² + y² - x + 2y = 0 - 常规

简化二次方程 x² + y² - x + 2y = 0

本文将详细讲解如何将二次方程 x² + y² - x + 2y = 0 简化为标准形式 (x-1/2)² + (y+1)² = 5/4，并分析其几何意义。

1. 配方

为了将方程简化为标准形式，我们需要进行配方。具体步骤如下：

将 x 和 y 的项分别分组： (x² - x) + (y² + 2y) = 0
对 x² - x 进行配方，将系数 -1 除以 2 并平方，得到 1/4。在等式两边同时加上 1/4： (x² - x + 1/4) + (y² + 2y) = 1/4
对 y² + 2y 进行配方，将系数 2 除以 2 并平方，得到 1。在等式两边同时加上 1： (x² - x + 1/4) + (y² + 2y + 1) = 1/4 + 1
将括号内的表达式写成平方形式： (x - 1/2)² + (y + 1)² = 5/4

2. 几何意义

现在我们得到了二次方程的标准形式，它是一个圆的方程。

总结

通过配方，我们成功将二次方程 x² + y² - x + 2y = 0 简化为标准形式 (x-1/2)² + (y+1)² = 5/4，并发现它表示以 (1/2, -1) 为圆心，半径为 √5 / 2 的圆。