Pauli Matrix σ₁ 应用于自旋算符：公式推导和解释

Pauli 矩阵 σ₁ 应用于自旋算符：公式推导和解释

本文将推导 Pauli 矩阵 σ₁ 应用于自旋算符的表达式，并解释公式中每个项的物理意义。

公式

给定一个自旋算符：

∑_i c_i' σ₁ c_i

其中，σ₁ 是 Pauli 矩阵，形式为：

σ₁ =  '0 1'
     '1 0'

将 σ₁ 代入式子中，得到：

∑_i c_i' σ₁ c_i = ∑_i 'c_{i↑}*  c_{i↓}*' '0 1'
                                      '1 0' 'c_{i↑}
                                            c_{i↓}' = ∑_i (c_{i↑}*c_{i↓} + c_{i↓}*c_{i↑})

解释

• c_i 表示第 i 个粒子的波函数系数。
• c_{i↑} 和 c_{i↓} 分别表示第 i 个粒子的自旋向上和向下的波函数系数。
• c_i' 表示 c_i 的共轭转置。

结论

该公式表明，Pauli 矩阵 σ₁ 应用于自旋算符时，将自旋向上和向下的波函数系数混合在一起。具体而言，它将自旋向上的系数乘以自旋向下的系数，反之亦然。最终结果是一个包含自旋向上和向下的系数的线性组合。