证明三角形内部一点到两顶点的距离和大于到另外两顶点的距离和

根据三角形任意一边的长度小于其它两边之和，我们有：

$$\begin{aligned}\AB & < AP + PB \AC & < AP + PC\end{aligned}$$

两式相加得：

$$\AB + AC < AP + PB + AP + PC = 2(AP + \frac{PB+PC}{2})$$

由于'P'在三角形'ABC'内部，因此'AP'小于三角形'ABC'的任一边长，即'AP < AB'且'AP < AC'，代入上式得：

$$\AB + AC < 2(AB + \frac{PB+PC}{2}) = AB + PB + AC + PC$$

移项得到：

$$\AB + AC > PB + PC$$

证毕。