证明 -t/sum_k c_k^{/dagger} c_ke^{ik}+h.c. 等于 -2t/sum_k c_k^{/dagger} c_kcos{k}

首先，我们知道$e^{ik}=/cos{k}+i/sin{k}$。因此，$e^{-ik}=/cos{k}-i/sin{k}$。/n/n把$e^{ik}$和$e^{-ik}$代入到原式中，得到：/n/n$$-t/sum_k c_k^{/dagger} c_ke^{ik}+h.c.=-t/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/cos{k}+i/sin{k})-t/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/cos{k}-i/sin{k})$$ /n/n将上式移项，得到：/n/n$$-t/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/cos{k}+i/sin{k})+t/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/cos{k}-i/sin{k})$$ /n/n将$i$移到括号外面，得到：/n/n$$-it/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/sin{k}+i/cos{k})+it/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/sin{k}-i/cos{k})$$ /n/n将$i$的平方化简，得到：/n/n$$-it/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/sin{k}+i/cos{k})+it/sum_k c_k^{/dagger} c_k(/sin{k}+i/cos{k})$$ /n/n合并同类项，得到：/n/n$$-2it/sum_k c_k^{/dagger} c_k/cos{k}$$ /n/n因此，我们得到了原式的另一种形式：/n/n$$-t/sum_k c_k^{/dagger} c_ke^{ik}+h.c.=-2t/sum_k c_k^{/dagger} c_k/cos{k}$$