GANs 损失函数公式推导 - E_{z~p_z(z),x~p_{data}(x)}[D(G(z,x),x)^2-2D(G(z,x),x)+1] 公式解析

首先，我们需要知道 $D$ 的定义：/n/n$D$ 是一个判别器函数，它将一个样本 $(x,y)$ 映射到一个实数值 $D(x,y)$，表示该样本是真实数据的概率。/n/n接下来，我们将推导公式。首先，我们需要了解一些概率论的基础知识：/n/n期望值的定义：对于一组随机变量 $X_1,X_2,/dots,X_n$，期望值 $/mathbb{E}[f(X)]$ 定义为 $f(X)$ 的加权平均值，其中权重是每个 $X$ 发生的概率。具体地，期望值可以表示为：/n/n$$/mathbb{E}[f(X)] = /sum_{i=1}^n f(X_i) p(X_i)$$/n/n其中，$p(X_i)$ 表示 $X_i$ 发生的概率。/n/n现在，我们来推导公式：/n/n$$/n//begin{aligned}/n&E_{z/sim p_z(z),x/sim p_{data}(x)}[D(G(z,x),x)^2-2D(G(z,x),x)+1]///n=&/sum_{z}/sum_{x}p_z(z)p_{data}(x)[D(G(z,x),x)^2-2D(G(z,x),x)+1]///n=&/sum_{z}/sum_{x}p_z(z)p_{data}(x)[D(G(z,x),x)^2-2D(G(z,x),x)+D(x,x)]///n=&/sum_{z}/sum_{x}p_z(z)p_{data}(x)[D(G(z,x),x)^2-D(x,x)]///n=&/mathbb{E}{z/sim p_z(z),x/sim p{data}(x)}[D(G(z,x),x)^2-D(x,x)]///n/end{aligned}$$/n/n其中，第一步到第二步是因为 $D(x,x) = 1$，第二步到第三步是因为加上了一项 $D(x,x)$ 后，我们可以将 $2D(G(z,x),x)$ 分解为 $D(G(z,x),x) + D(x,x)$。/n/n因此，最终得到公式：/n/n$$E_{z/sim p_z(z),x/sim p_{data}(x)}[D(G(z,x),x)^2-2D(G(z,x),x)+1] = /mathbb{E}{z/sim p_z(z),x/sim p{data}(x)}[D(G(z,x),x)^2-D(x,x)]$$