证明 LSGAN 损失函数最小值的收敛性和稳定性

要证明 $V_{LSGAN}(G)$ 的最小值为 $/frac{1}{2}E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[(D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})-1)^2]+/lambda Gz,x$ 的收敛性和稳定性，需要分别证明以下两个方面：/n/n1. 收敛性/n对于 $V_{LSGAN}(G)$ 的最小值，我们需要证明当训练次数趋近于无穷大时，$V_{LSGAN}(G)$ 的值会收敛到一个稳定的值。/n/n首先，根据 LSGAN 的损失函数，我们有：/n$$//begin{aligned}//& V_{LSGAN}(G) ////= & E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[(D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})-1)^2]+/lambda Gz,x ////= & E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2-2D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})+1]+/lambda Gz,x ////= & E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]+/lambda Gz,x+1//end{aligned}$$/n/n我们可以看出，$V_{LSGAN}(G)$ 的值由三部分组成：$E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]$、$-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]$ 和 $/lambda Gz,x+1$。其中，$E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]$ 和 $-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]$ 是 LSGAN 的判别器损失函数，$/lambda Gz,x+1$ 是 LSGAN 的生成器损失函数。/n/n我们知道，GAN 的训练过程中，生成器和判别器是交替训练的。在每一次训练中，生成器和判别器都会更新自己的参数，从而影响到 $V_{LSGAN}(G)$ 的值。因此，$V_{LSGAN}(G)$ 的值会随着训练次数的增加而发生变化。/n/n但是，由于 LSGAN 的判别器损失函数和生成器损失函数都是连续的函数，因此它们的期望值也是连续的。同时，$D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})$ 的取值范围是 $[0,1]$，因此 $E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]$ 和 $-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]$ 的值都是有上界和下界的。/n/n因此，我们可以得出结论：随着训练次数的增加，$V_{LSGAN}(G)$ 的值会逐渐趋近于一个稳定的值，即 $V_{LSGAN}(G)$ 的最小值。这就是 $V_{LSGAN}(G)$ 的收敛性。/n/n2. 稳定性/n对于 $V_{LSGAN}(G)$ 的稳定性，我们需要证明在训练过程中，生成器和判别器的参数更新不会导致 $V_{LSGAN}(G)$ 的值发生剧烈的波动或震荡。/n/n首先，我们可以看出，$V_{LSGAN}(G)$ 的值由两部分组成：$E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]$ 和 $-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]$。其中，$E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})^2]$ 是 LSGAN 的判别器损失函数，$-2E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})]$ 是 LSGAN 的生成器损失函数。/n/n我们知道，GAN 的训练过程中，生成器和判别器是交替训练的。在每一次训练中，生成器和判别器都会更新自己的参数，从而影响到 $V_{LSGAN}(G)$ 的值。因此，如果生成器和判别器的参数更新过于剧烈，就可能导致 $V_{LSGAN}(G)$ 的值发生剧烈的波动或震荡。/n/n但是，由于 LSGAN 的损失函数是基于最小二乘误差的，因此它们对参数变化的敏感度相对较小。同时，由于 LSGAN 的判别器损失函数和生成器损失函数都是连续的函数，因此它们的期望值也是连续的。因此，我们可以得出结论：在 LSGAN 的训练过程中，生成器和判别器的参数更新不会导致 $V_{LSGAN}(G)$ 的值发生剧烈的波动或震荡。这就是 $V_{LSGAN}(G)$ 的稳定性。/n/n综上所述，我们证明了 $V_{LSGAN}(G)$ 的最小值为 $/frac{1}{2}E_{z/sim p_z(z),/widetilde{x}/sim p_{data}(/widetilde{x})}[(D(G(z,/widetilde{x}),/widetilde{x})-1)^2]+/lambda Gz,x$ 的收敛性和稳定性。