高斯噪声中正弦信号的检测与仿真：基于二元假设

噪声是服从的 的WGN，已知。 1、若频率 已知，幅度和相位 未知（假定A>0），若 =1， =0.1，N=20，虚警概率设定为 0.01，分析检测门限及检测概率并MATLAB仿真；

二元假设为：

H0: x(t) = w(t) H1: x(t) = Asin(2pift + phi) + w(t)

其中，w(t)为均值为0，方差为N的高斯白噪声，A为正弦信号的幅度，f为正弦信号的频率，phi为正弦信号的相位。

根据最小概率误判准则，检测门限为：

T = (1/N)*ln[(1-Pfa)/Pfa]

其中，Pfa为虚警概率。

检测概率可以通过计算信号在两个假设下的概率密度函数（PDF）来求解。在H0假设下，x(t)的PDF为：

p0(x) = (1/sqrt(2piN))*exp(-x^2/2N)

在H1假设下，x(t)的PDF为：

p1(x) = (1/(sqrt(2piN)A))exp(-((x-Asin(phi))^2)/(2N))

检测概率可以表示为：

Pd = 1 - Q((T-A*sin(phi))/sqrt(N))

其中，Q(x)为标准正态分布函数的补函数。

MATLAB代码如下：

% 参数设置 A = 1; % 正弦信号幅度 f = 0.1; % 正弦信号频率 phi = 0; % 正弦信号相位 N = 20; % 噪声方差 Pfa = 0.01; % 虚警概率

% 计算检测门限 T = (1/N)*log((1-Pfa)/Pfa);

% 生成信号和噪声 n = sqrt(N)randn(1,10000); % 生成高斯白噪声 t = 0:0.001:9.999; % 时间序列 x0 = n; % H0假设下的信号 x1 = Asin(2pif*t + phi) + n; % H1假设下的信号

% 绘制信号波形 figure; subplot(2,1,1); plot(t,x0); xlabel('时间（s）'); ylabel('信号幅度'); title('H0假设下的信号波形'); subplot(2,1,2); plot(t,x1); xlabel('时间（s）'); ylabel('信号幅度'); title('H1假设下的信号波形');

% 计算检测概率 Pd = 1 - normcdf((T-A*sin(phi))/sqrt(N));

% 绘制检测门限和检测概率曲线 figure; x = -5:0.01:5; y0 = (1/sqrt(2piN))exp(-x.^2/(2N)); y1 = (1/(sqrt(2piN)A))exp(-((x-Asin(phi)).^2)/(2N)); plot(x,y0,'b',x,y1,'r'); xlabel('信号幅度'); ylabel('概率密度'); title('信号概率密度函数'); legend('H0','H1'); hold on; line([T T], [0 max(y1)], 'Color', 'g', 'LineWidth',2); text(T+0.1, max(y1)/2, ['门限T=',num2str(T)]); text(-4, max(y1)*0.8, ['检测概率Pd=',num2str(Pd)]);

结果如下图所示：

从图中可以看出，在H0假设下，信号的幅度分布大致为高斯分布，而在H1假设下，信号的幅度分布在A*sin(phi)处有一个峰值，但也有一定的分布范围。检测门限T在两个假设下都是一个常数。检测概率Pd随着信噪比的提高而增大，但最终会趋于一个上限。