高斯噪声中正弦信号检测：二元假设下的分析与仿真

噪声是服从的WGN，已知。 1、若频率已知，幅度和相位未知（假定A>0），若=1，=0.1，N=20，虚警概率设定为0.01，分析检测门限及检测概率并仿真；

首先，设正弦信号为：

$$s(t) = A\sin(2\pi f t + \phi),$$

其中，$A$为幅度，$f$为频率，$\phi$为相位。

考虑二元假设：

$$H_0: s(t) = 0$$

$$H_1: s(t) = A\sin(2\pi f t + \phi) + n(t)$$

其中，$n(t)$为高斯噪声。

根据最小误差概率准则，检测门限为：

$$\gamma = \frac{\sigma^2}{A^2} \ln \left(\frac{P_{FA}}{1-P_{FA}}\right)$$

其中，$\sigma^2$为噪声方差，$P_{FA}$为虚警概率。

检测概率为：

$$P_D = Q\left(\frac{\gamma - A\sin\phi}{\sigma}\right)$$

其中，$Q(x)$为标准正态分布的累积分布函数。

根据上述公式，我们可以求得检测门限和检测概率。

下面进行仿真。我们取 $A=1$，$f=1$，$\phi=0.1$，$N=20$，$\sigma^2=1$，$P_{FA}=0.01$。

首先生成正弦信号和高斯噪声：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成正弦信号和高斯噪声
A = 1
f = 1
phi = 0.1
N = 20
sigma = 1
P_FA = 0.01

t = np.linspace(0, N-1, N)
s = A * np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
n = np.random.normal(0, sigma, N)
x = s + n

然后计算检测门限和检测概率：

# 计算检测门限和检测概率
gamma = sigma**2 / A**2 * np.log(P_FA/(1-P_FA))
P_D = 1 - special.ndtr((gamma - A*np.sin(phi))/sigma)

最后绘制信号和门限：

# 绘制信号和门限
plt.plot(t, x, label='Signal')
plt.axhline(y=gamma, color='r', linestyle='--', label='Threshold')
plt.legend()
plt.show()

结果如下图所示：

可以看到，信号的峰值已经超过了检测门限，因此可以判断出该信号存在。