赋范空间的邵德尔基与可分性

设 $X$ 是一个赋范空间，$E$ 是它的一个邵德尔基。要证明 $X$ 是可分空间，我们需要构造一个可数的稠密子集。/n/n由邵德尔基的定义，对于任意 $x//in X$，存在一族有限个线性组合 $/{a_1x,a_2x,//ldots,a_nx/}$，使得对于任意 $//epsilon>0$，存在一组 $a_1,a_2,//ldots,a_n$，使得/n$$//left//|//sum_{i=1}^na_ix_i - x//right//| < //epsilon.$$ /n我们可以选择有理系数，即将 $a_1,a_2,//ldots,a_n$ 都取成有理数。因为有理数是可数的，所以对于每个 $x//in X$，我们都可以找到一族有理系数线性组合 $/{a_1^{(x)}x,a_2^{(x)}x,//ldots,a_{n(x)}^{(x)}x/}$，使得对于任意 $//epsilon>0$，存在一组 $a_1,a_2,//ldots,a_{n(x)}$，使得/n$$//left//|//sum_{i=1}^{n(x)}a_i^{(x)}x_i - x//right//| < //epsilon/2^{|x|},$$/n其中 $|x|$ 表示 $x$ 的范数。/n/n现在我们取所有有理系数线性组合的并集，即/n$$D = //bigcup_{x//in X}/{a_1^{(x)}x,a_2^{(x)}x,//ldots,a_{n(x)}^{(x)}x/}.$$/n我们要证明 $D$ 是 $X$ 的一个可数稠密子集。/n/n首先，$D$ 是可数的，因为每个 $x//in X$ 只对应有限个线性组合，而有理数是可数的。/n/n其次，$D$ 是稠密的。对于任意 $x//in X$ 和任意 $//epsilon>0$，我们取 $D$ 中的一个元素 $y=a_1^{(x)}x_1+a_2^{(x)}x_2+//cdots+a_{n(x)}^{(x)}x_{n(x)}$，使得/n$$//|y-x//| < //frac{//epsilon}{2^{|x|}}.$$ /n因为 $E$ 是邵德尔基，所以存在有限个线性组合 $/{b_1y,b_2y,//ldots,b_m y/}$，使得对于任意 $//delta>0$，存在一组 $b_1,b_2,//ldots,b_m$，使得/n$$//left//|//sum_{i=1}^m b_i y_i - y//right//| < //delta.$$ /n因为 $y$ 是 $D$ 中的元素，所以 $y$ 可以表示成 $D$ 中的有理系数线性组合，即/n$$y = //sum_{i=1}^{n(y)} c_i x_i,$$/n其中 $c_1,c_2,//ldots,c_{n(y)}$ 都是有理数。所以我们有/n$$//left//|//sum_{i=1}^m b_i x_i - x//right//| //leq //left//|//sum_{i=1}^m b_i y_i - y//right//| + //left//|//sum_{i=1}^{n(y)} (c_i-b_i)a_ix_i//right//| + //|y-x//| < //delta + //frac{//epsilon}{2^{|x|}} + //frac{//epsilon}{2^{|x|}} = //delta + //frac{2//epsilon}{2^{|x|}},$$/n其中第一个不等式用到了三角不等式和线性组合的性质，第二个不等式用到了邵德尔基的性质。现在我们可以取 $//delta$ 为 $//epsilon/2^{|x|}$，则上式变为/n$$//left//|//sum_{i=1}^m b_i x_i - x//right//| < //epsilon,$$/n证明了 $D$ 是稠密的。因此，$X$ 是可分空间。