菱形中动点距离和的最小值问题及解法

首先，连接AE、AF，并设AE=x，则AF=AD-AF-DE=4-x-DF。/n由余弦定理可得：/n$$//begin{aligned}//&/cos //angle BAE=//frac{AB^2+AE^2-BE^2}{2//cdot AB //cdot AE}=//frac{9+x^2-3x}{6x}////&/cos //angle BAF=//frac{AB^2+AF^2-BF^2}{2//cdot AB //cdot AF}=//frac{9+(4-x-DF)^2-(3-x-DF)^2}{6(4-x-DF)}//////end{aligned}//$$//n注意到$cos //angle BAE$和$cos //angle BAF$是单峰的函数，因此当它们相等时取到最小值。//n即：//n$$//frac{9+x^2-3x}{6x}=//frac{9+(4-x-DF)^2-(3-x-DF)^2}{6(4-x-DF)}//$$//n化简得：//n$$//x^3-3x^2-6DFx+27=0//$$//n注意到$x>0$，因此$x$是这个方程的单实根。//n于是，我们只需要求出$DF$，然后代入上式即可求得$x$。//n由于$//triangle BDF$和$//triangle BAC$相似，因此$DF=2AC=6$。//n代入上式，得到：//n$$//x^3-3x^2-36x+27=0//$$//n可以用牛顿迭代法求解，得到$x//approx 2.719$。//n因此，$AE+AF=4-x+4-x-DF=8-2x-DF//geq 8-2//cdot 2.719-6=0.842$。//n当$x=2.719$，$DF=6$时取到最小值。//n因此，$AE+AF$的最小值为$0.842$。