Rt△ABC中，直线l经过点B，求AE+CF的最大值

根据勾股定理可知，$AB=5$。设$AE=x$，则$BE=/sqrt{AB^2-AE^2}=/sqrt{25-x^2}$。同理，设$CF=y$，则$BF=/sqrt{16-y^2}$。由三角形不等式可得：/n$$//begin{aligned} AE+CF&=BE+BF-BE+CF // &/leq BE+BF // &=/sqrt{25-x^2}+/sqrt{16-y^2} /end{aligned}//$$ /n因此，问题转化为求$/sqrt{25-x^2}+/sqrt{16-y^2}$的最大值。根据柯西-施瓦茨不等式可得：/n$$//begin{aligned} (/sqrt{25-x^2}+/sqrt{16-y^2})^2&/leq (1^2+1^2)(25-x^2+16-y^2) // &=82- x^2-y^2 /end{aligned}//$$ /n最后，要使得$/sqrt{25-x^2}+/sqrt{16-y^2}$最大，只需让$x^2+y^2$最小。由于$AE/perp l$，$CF/perp l$，因此$AE/parallel CF$，所以$AE=CF$。同时，$AE+CF=AE+AE=2AE/leq AB=5$。因此，$x^2+y^2$的最小值为$(AE+CF)^2/2^2=(5/2)^2=6.25$。因此，$/sqrt{25-x^2}+/sqrt{16-y^2}/leq /sqrt{82-6.25}=/sqrt{75.75}$。综上所述，$AE+CF$的最大值为$/sqrt{75.75}$。