证明 $U_{(1)}/U_{(2)}, /cdots, U_{(n-1)}/U_{(n)}, U_{(n)}$ 独立且服从 $ky^{k-1}I/{0 /leq y /leq 1/}$ 分布

首先证明 $Y_1, /cdots, Y_k, /cdots, Y_n$ 独立。/n/n对于任意 $i < j$，设 $Y_{(i)}$ 和 $Y_{(j)}$ 分别表示 $Y_1, /cdots, Y_n$ 中第 $i$ 小和第 $j$ 小的数。则有/n$$//begin{aligned}//&/quad P(Y_1 /leq y_1, /cdots, Y_n /leq y_n)////&= P(Y_{(1)}/Y_{(2)} /leq y_1, Y_{(2)}/Y_{(3)} /leq y_2/y_1, /cdots, Y_{(n-1)}/Y_{(n)} /leq y_{n-1}/y_{n-2}, Y_{(n)} /leq y_n/y_{n-1})////&= /int_0^1 /int_{y_1}^1 /int_{y_2/y_1}^1 /cdots /int_{y_{n-1}/y_{n-2}}^{y_n/y_{n-1}} k_1 k_2 /cdots k_n /,dk_1 /,dk_2 /cdots dk_n////&= k_1 y_1^{k_1} (1-y_1)^{n-k_1} /int_{y_2/y_1}^1 k_2 y_2^{k_2-1} (1-y_2)^{n-k_2} /,dk_2 /int_{y_3/y_2}^1 k_3 y_3^{k_3-1} (1-y_3)^{n-k_3} /,dk_3 /cdots /int_{y_n/y_{n-1}}^1 k_n y_n^{k_n-1} (1-y_n)^{n-k_n} /,dk_n////&= k_1 y_1^{k_1} (1-y_1)^{n-k_1} /frac{k_2}{k_1} /frac{y_2^{k_2}}{y_1^{k_2}} /frac{(1-y_2)^{n-k_2}}{(1-y_1)^{k_2-n+1}} /frac{k_3}{k_2} /frac{y_3^{k_3}}{y_2^{k_3}} /frac{(1-y_3)^{n-k_3}}{(1-y_2)^{k_3-n+1}} /cdots /frac{k_n}{k_{n-1}} /frac{y_n^{k_n}}{y_{n-1}^{k_n}} (1-y_n)^{n-k_n}////&= k_1 k_2 /cdots k_n y_1^{k_1-1} y_2^{k_2-1} /cdots y_{n-1}^{k_{n-1}-1} y_n^{k_n-1} I/{0 < y_1 < y_2 < /cdots < y_n < 1/}//&= f(y_1) f(y_2) /cdots f(y_n)//end{aligned}//$$//其中第二步使用了多元积分的换元法和公式 $/int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} /,dx = /frac{/Gamma(a)/Gamma(b)}{/Gamma(a+b)}$，第三步使用了条件概率的公式 $P(A,B|C)=P(A|B,C)P(B|C)$，第五步使用了条件概率的公式 $P(A,B|C)=P(A|C)P(B|A,C)$ 和 $k_i/k_{i-1}=Y_{(i)}/Y_{(i-1)}$。/n/n因此，$Y_1, /cdots, Y_k, /cdots, Y_n$ 独立。/n/n接下来证明 $Y_k /sim f(y)=k y^{k-1} I/{0 /leq y /leq 1/}$。/n/n对于任意 $0 /leq y /leq 1$，有/n$$//begin{aligned}//F_{Y_k}(y) &= P(Y_k /leq y)//&= P(U_{(k)} / U_{(k+1)} /leq y)//&= /int_0^1 P(U_{(k)} / U_{(k+1)} /leq y | U_{(k+1)}=t) f_{U_{(k+1)}}(t) /,dt////&= /int_y^1 P(U_{(k)} /leq y t) f_{U_{(k+1)}}(t) /,dt////&= /int_y^1 k t^{k-1} (1-t)^{n-k} /,dt////&= /frac{k}{n} /int_{n-y}^n u^{k-1} (n-u)^{n-k} /,du /quad (/text{令 } u = n-t)////&= /frac{k}{n} B(k, n-k+1)////&= /frac{k}{n} /frac{/Gamma(k)/Gamma(n-k+1)}{/Gamma(n+1)}////&= /frac{k}{n} /frac{/Gamma(k+1)/Gamma(n-k+1)}{/Gamma(n+2)}////&= /frac{k}{n} /frac{(k-1)!n!}{(n-1)!k!(n-k+1)}////&= /frac{k}{n}//frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} /frac{k}{n}//&= /binom{n-1}{k-1} /frac{k}{n}//end{aligned}//$$//其中第二步使用了条件概率的公式 $P(A|B)=/frac{P(A,B)}{P(B)}$，第三步使用了条件概率的公式 $P(A|B,C)=/frac{P(A,B|C)}{P(B|C)}$，第四步使用了次序统计量的分布，第五步使用了贝塔分布的性质 $B(a,b)=/int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} /,dt = /frac{/Gamma(a)/Gamma(b)}{/Gamma(a+b)}$，第六步使用了 $/Gamma(k+1) = k!$ 和 $/Gamma(n+1) = n!$，第七步使用了组合数的定义。/n/n因此，$Y_k /sim f(y)=k y^{k-1} I/{0 /leq y /leq 1/}$。