离散LTI系统零状态响应计算与波形绘制 - 激励f(k)=3ku(k), 单位脉冲响应h(k)=2ku(k)

根据卷积的定义，零状态响应为：

$$\y_{zs}(k)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)h(k-n)$$

代入激励和单位脉冲响应的表达式：

$$\begin{aligned}\y_{zs}(k)&=\sum_{n=0}^{k}3n\cdot 2(k-n) \&=6\sum_{n=0}^{k}n(k-n) \&=6k\sum_{n=0}^{k}n-6\sum_{n=0}^{k}n^2 \&=6k\cdot\frac{k(k+1)}{2}-6\cdot\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \&=3k^3+3k^2+k\end{aligned}$$

因此，该系统的零状态响应在有限区间的波形为一个三次函数，随着时间不断增加而增加，其波形如下图所示：