C++ 算法实现：欧拉回路问题解决方法

欧拉回路问题是指在图中遍历所有边恰好一次，并回到起点的回路。该问题常用于路线规划、网络分析等领域。例如，在城市规划中，需要设计一条公共汽车路线，要求经过所有街道一次，且回到起点。

解题思路

这题是一个经典的欧拉回路问题，我们可以使用 Fleury 算法来判断是否存在欧拉回路。首先，我们需要把有向图变成无向图，然后再判断无向图是否连通，如果不连通，显然不存在欧拉回路。如果是连通的，我们从任意一个节点开始，进行 DFS，如果有死路，我们需要回溯，直到找到一个有出路的节点。在回溯的过程中，我们需要把走过的边删除，这样就不会重复走回已经走过的边了。如果我们找遍了所有的边，而且没有死路，说明存在欧拉回路。

实现细节

在判断连通性时，我们可以从任意一个节点开始 DFS，如果遍历到的节点数目不等于总节点数就说明不连通。
判断是否是欧拉回路时，我们需要判断每个节点的度数是否是偶数，如果不是，说明不存在欧拉回路。
在回溯时，我们需要找到一个有出路的节点，这个节点需要满足删除边后仍然连通。如果没有这样的节点，说明不存在欧拉回路。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

// 图的邻接表表示
vector<vector<int>> graph;

// 节点的度数
vector<int> degree;

// 是否访问过的边
vector<vector<bool>> visited;

// 判断图是否连通
bool isConnected(int startNode) {
    vector<bool> visited(graph.size(), false);
    queue<int> q;
    q.push(startNode);
    visited[startNode] = true;
    while (!q.empty()) {
        int curNode = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < graph[curNode].size(); i++) {
            int nextNode = graph[curNode][i];
            if (!visited[nextNode]) {
                visited[nextNode] = true;
                q.push(nextNode);
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < graph.size(); i++) {
        if (!visited[i]) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 寻找有出路的节点
int findNextNode(int curNode) {
    for (int i = 0; i < graph[curNode].size(); i++) {
        int nextNode = graph[curNode][i];
        if (!visited[curNode][nextNode]) {
            return nextNode;
        }
    }
    return -1;
}

// Fleury 算法
bool findEulerCircuit(int startNode) {
    int curNode = startNode;
    vector<int> circuit;
    while (!circuit.empty() || findNextNode(curNode) != -1) {
        if (findNextNode(curNode) == -1) {
            circuit.push_back(curNode);
            curNode = circuit.back();
            circuit.pop_back();
        } else {
            int nextNode = findNextNode(curNode);
            visited[curNode][nextNode] = true;
            visited[nextNode][curNode] = true;
            circuit.push_back(curNode);
            curNode = nextNode;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int m, s;
        cin >> m >> s;
        graph.assign(m + 1, vector<int>());
        degree.assign(m + 1, 0);
        visited.assign(m + 1, vector<bool>(m + 1, false));
        for (int i = 0; i < s; i++) {
            int x, y, d;
            cin >> x >> y >> d;
            graph[x].push_back(y);
            graph[y].push_back(x);
            degree[x]++;
            degree[y]++;
            if (d == 0) {
                visited[x][y] = true;
                visited[y][x] = true;
            }
        }
        // 判断是否连通
        if (!isConnected(1)) {
            cout << "impossible" << endl;
            continue;
        }
        // 判断每个节点的度数是否为偶数
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (degree[i] % 2 != 0) {
                cout << "impossible" << endl;
                continue;
            }
        }
        // 寻找欧拉回路
        if (findEulerCircuit(1)) {
            cout << "possible" << endl;
        } else {
            cout << "impossible" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

测试用例

输入

输出

possible
impossible
impossible
possible

代码说明

graph：邻接表表示的图，graph[i] 表示节点 i 的所有邻居节点。
degree：每个节点的度数。
visited：记录边是否被访问过，visited[i][j] 表示边 (i, j) 是否被访问过。
isConnected(int startNode)：判断图是否连通，从 startNode 开始进行 DFS，如果遍历到的节点数目不等于总节点数就说明不连通。
findNextNode(int curNode)：寻找当前节点 curNode 的一个没有被访问过的邻居节点，如果不存在就返回 -1。
findEulerCircuit(int startNode)：Fleury 算法，从 startNode 开始寻找欧拉回路，如果找到就返回 true，否则返回 false。

总结

本文介绍了如何使用 C++ 语言解决欧拉回路问题，并提供了详细的代码实现。代码使用邻接表表示图，并使用 Fleury 算法来判断是否存在欧拉回路。希望本文能够帮助读者更好地理解和解决欧拉回路问题。