取数游戏：动态规划算法求解最大得分

题目描述

给出一个 'n' x 'n' 的矩阵，进行取数游戏。取数共 'n' 轮，第 'i' 轮需要从每行分别取一个没取过的数字，设取出的数字总和是 's'，则第 'i' 轮的实际得分是 'i' x 's'。求 'n' 轮取数的最大总得分。

输入格式

从标准输入读入数据。第一行输入一个正整数 'n'（'n' ≤ 100）。接下来 'n' 行，每行输入 'n' 个正整数 'a_ij'（'a_ij' ≤ 10⁶），构成一个矩阵。

输出格式

输出到标准输出。输出一个整数，表示最大总得分。

样例 #1

样例输入 #1

31 3 24 2 41 3 1

样例输出 #1

C++代码实现cpp#include #include

using namespace std;

const int N = 110;

int n;int w[N][N];

// 用二维数组存储状态// f[i][j] 表示前 i 轮，第 j 列取的数是多少// w[i][j] 表示第 i 行，第 j 列的数值// f[i][j] 由上一轮 f[i-1][k] 转移而来，其中 k != jint f[N][N];

int main(){ cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) cin >> w[i][j];

memset(f, -0x3f, sizeof f);    for (int i = 1; i <= n; i ++ )        f[1][i] = w[1][i];

for (int i = 2; i <= n; i ++ )        for (int j = 1; j <= n; j ++ )            for (int k = 1; k <= n; k ++ )                if (j != k) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][k] + w[i][j]);

int res = -1e9;    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i] * i);

cout << res << endl;

return 0;}

算法分析

本题可以使用动态规划算法来解决。- 状态定义：f[i][j] 表示前 'i' 轮，第 'j' 列取的数是多少。- 状态转移方程：f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][k] + w[i][j])，其中 'k' != 'j'，表示第 'i' 轮在第 'j' 列取数，其得分是上一轮在除 'j' 列以外的任意一列 'k' 的得分加上当前这一轮在第 'j' 列取的数字的值。- 初始状态：f[1][i] = w[1][i]，表示第一轮在第 'i' 列取数，其得分就是第一行第 'i' 列的数字。- 最终结果：max(f[n][i] * i)，表示 'n' 轮取数后，所有列的得分中最大的值。

代码解释

首先，定义一个二维数组 f，用来存储状态。- 然后，初始化 f 数组，其中第一行 f[1][i] 表示第一轮取数的得分。- 接着，进行状态转移，从第二轮开始，依次计算每一轮的得分，并将得分存储在 f 数组中。- 最后，遍历所有列的得分，找出最大得分，并输出结果。

总结

本题使用动态规划算法解决了一个经典的取数游戏问题，通过合理的定义状态和状态转移方程，可以高效地求解出最大总得分。