系统根轨迹分析：传递函数、MATLAB绘制与稳定性判断

1. 系统的传递函数为：

$ \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(s+5)}{(s^2+4s)(s^2+5s+6)+K(s+5)} $

2. 使用matlab编程绘制根轨迹图的代码如下：

num = [1 6 5 0];
den = [1 9 26 24 5];
rlocus(num,den)

绘制的根轨迹图如下：

3. 根轨迹图的分支有3个，因为系统的开环传递函数为：

$ G(s)=\frac{K(s+5)}{(s^2+4s)(s^2+5s+6)} $

其中，分母有两个二阶项，因此根轨迹图的分支数为2+1=3。

系统的稳定性可以根据根轨迹图上的规律来判断。由根轨迹图可知，当$K>0$时，根轨迹图从左半s平面进入右半s平面，且没有穿越虚轴，因此系统稳定。当$K<0$时，根轨迹图从右半s平面进入左半s平面，且穿越了虚轴，因此系统不稳定。当$K=0$时，根轨迹图在实轴上，因此系统边界稳定。综上，系统稳定的条件为$K>0$。