系统根轨迹分析：传递函数、MATLAB绘制及稳定性判断

1. 系统的传递函数为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(s+5)}{(s^2+4s)(s^2+5s+6)+K(s+5)}$$

2. Matlab代码如下：

K = 1; % 系统参数K
num = K*[1 5]; % 分子多项式
den = conv([1 4],[1 5 6])+K*[1 5]; % 分母多项式
rlocus(tf(num,den)); % 绘制根轨迹图

绘制的根轨迹图如下：

3. 根轨迹图的分支共4条，因为系统的传递函数的分母为两个二阶多项式的乘积，每个二阶多项式对应两条分支。系统在所有的根轨迹都位于左半平面，因此系统是稳定的。