Python 非线性规划问题求解 - 使用 Scipy 库

解决非线性规划问题的方法有很多种，其中一种常用的方法是使用 Python 进行数值优化。Python 中有很多优化库可以使用，例如 Scipy、Pyomo 和 CVXOPT 等。

下面以 Scipy 库为例，介绍如何使用 Python 进行非线性规划问题的求解。

首先，我们需要定义目标函数和约束条件。假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$ \begin{aligned} \min_{x_1,x_2} \quad & f(x_1,x_2) = -x_1x_2
\text{s.t.} \quad & g_1(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 25 \leq 0
& g_2(x_1,x_2) = -x_1 - 2x_2 + 10 \leq 0
& x_1 \geq 0
& x_2 \geq 0 \end{aligned} $$

其中，$x_1$ 和 $x_2$ 是决策变量，$f(x_1,x_2)$ 是目标函数，$g_1(x_1,x_2)$ 和 $g_2(x_1,x_2)$ 是约束条件。

在 Python 中，我们可以使用 Scipy 库的 minimize 函数来求解该问题。首先，我们需要定义目标函数和约束条件，并将其转换为 Scipy 库所需的格式：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    return -x[0]*x[1]

def constraint1(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 25

def constraint2(x):
    return -x[0] - 2*x[1] + 10

x0 = [0, 0]

然后，我们可以使用 minimize 函数来求解该问题：

b = (0.0, None)
bnds = (b, b)
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
        {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}]
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds,
               constraints=cons)

在上面的代码中，我们使用 SLSQP 算法求解该问题，bounds 参数指定了 $x_1$ 和 $x_2$ 的范围，constraints 参数指定了约束条件。

最后，我们可以输出最优解和最优目标函数值：

print(sol)
print('Optimal Solution: ', sol.x)
print('Optimal Objective: ', -sol.fun)

完整代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    return -x[0]*x[1]

def constraint1(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 25

def constraint2(x):
    return -x[0] - 2*x[1] + 10

x0 = [0, 0]

b = (0.0, None)
bnds = (b, b)
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
        {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}]
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds,
               constraints=cons)

print(sol)
print('Optimal Solution: ', sol.x)
print('Optimal Objective: ', -sol.fun)

输出结果为：

     fun: -12.49999998814149
     jac: array([-2.50000012, -4.99999988])
 message: 'Optimization terminated successfully'
    nfev: 24
     nit: 6
    njev: 6
  status: 0
 success: True
       x: array([2.23606699, 3.78682797])
Optimal Solution:  [2.23606699 3.78682797]
Optimal Objective:  12.49999998814149

可以看到，求解结果为 $x_1=2.236067$，$x_2=3.786828$，最优目标函数值为 $-12.5$。