取数游戏：最大得分算法及C++代码实现

题目描述

给出一个 'n' x 'n' 的矩阵，进行取数游戏。取数共 'n' 轮，第 'i' 轮需要从每行分别取一个没取过的数字，设取出的数字总和是 's'，则第 'i' 轮的实际得分是 'i' x 's'。求 'n' 轮取数的最大总得分。

输入格式

从标准输入读入数据。第一行输入一个正整数 'n'（'n' ≤ 100）。接下来 'n' 行，每行输入 'n' 个正整数 'a_ij'（'a_ij' ≤ 10⁶），构成一个矩阵。

输出格式

输出到标准输出。输出一个整数，表示最大总得分。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

算法思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 'f[i][j]' 表示前 'i' 轮取数，并且第 'i' 轮从第 'j' 列取数的最大得分。状态转移方程为：

f[i][j] = max(f[i-1][k] + a[i][j] * i) (1 ≤ k ≤ n, k ≠ j)

其中，'k' 表示第 'i-1' 轮选择的列。最终的答案为：

max(f[n][j]) (1 ≤ j ≤ n)

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N][N],n,f[N][N],p[N][N];

void print(int x,int y){
    if(x==0) return;
    print(x-1,p[x][y]);
    cout<<p[x][y]<<' ';
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if(j!=k&&f[i-1][k]+a[i][j]*i>f[i][j]){
                    f[i][j]=f[i-1][k]+a[i][j]*i;
                    p[i][j]=k;
                }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans<<endl;
    int pos=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[n][i]==ans){
            pos=i;
            break;
        }
    print(n,pos);
    return 0;
}

代码解释

使用二维数组 'f[i][j]' 记录状态，'p[i][j]' 记录第 'i' 轮从第 'j' 列取数时，第 'i-1' 轮从哪一列取数。
遍历所有状态，使用状态转移方程更新 'f[i][j]' 和 'p[i][j]'。
找到 'f[n][j]' 的最大值，即为最大得分。
使用 'p[i][j]' 数组回溯，打印出每轮选择的列。

总结

本文介绍了取数游戏的算法思路及C++代码实现，使用动态规划有效地求解了最大得分。代码中包含了详细的注释，方便读者理解代码逻辑。