共轴薄透镜偏向角证明：第二透镜偏向角为第一透镜的两倍

设第一透镜的折射率为 $n_1$，第二透镜的折射率为 $n_2$，第一透镜和第二透镜的像方焦点均为 $F$，物方焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$，物距为 $u$，像距为 $v$，其中 $v$ 和 $u$ 满足薄透镜公式：

$$ \frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 R_1} + \frac{n_1 - n_2}{n_2 R_2} $$

其中 $f$ 是透镜的焦距，$R_1$ 和 $R_2$ 分别是第一透镜和第二透镜的曲率半径。

设一条光线经过第一透镜后的偏向角为 $\theta_1$，经过第二透镜后的偏向角为 $\theta_2$。根据薄透镜成像原理，我们可以得到：

$$ \tan \theta_1 = \frac{u}{f} $$

$$ \tan \theta_2 = \frac{v}{f} $$

将薄透镜公式中的 $u$ 和 $v$ 用 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 表示出来，有：

$$ \frac{1}{f} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 R_1} + \frac{n_1 - n_2}{n_2 R_2} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 R_1} + \frac{n_1 - n_2}{n_2 R_2} \cdot \frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1} $$

移项得到：

$$ \frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1} = \frac{n_2 R_1 - n_1 R_2}{n_1 R_1 + n_2 R_2} $$

根据相似三角形的性质，我们可以得到：

$$ \frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1} = \frac{v}{u} = \frac{n_1}{n_2} $$

将 $\sin \theta_1$ 和 $\sin \theta_2$ 的关系代入上式，有：

$$ \frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1} = \frac{v}{u} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1} \cdot \cos \theta_1 $$

化简可得：

$$ \tan \theta_2 = 2 \tan \theta_1 $$

即第二透镜上的偏向角是第一透镜上的偏向角的两倍。证毕。