e^x * sin(x) 的积分：分部积分法详解

e^x * sin(x) 的积分：分部积分法详解

本文将逐步讲解如何利用分部积分法求解 e^x * sin(x) 的不定积分。

问题： 求解 ∫ e^x * sin(x) dx

解题步骤：

1. 选择 u 和 dv：

   根据分部积分法的公式： ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du

   我们选择 u = e^x 和 dv = sin(x) dx。

2. 计算 du 和 v：

   根据求导和积分规则，我们得到： du = e^x dx 和 v = -cos(x)。

3. 应用分部积分法：

   将上述结果代入分部积分公式：

   ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) - ∫ (-cos(x) * e^x) dx

   化简后得到：

   ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) + ∫ e^x * cos(x) dx

4. 再次应用分部积分法：

   新的积分 ∫ e^x * cos(x) dx 与原始积分形式类似， 因此我们再次使用分部积分法。

   这次选择 u = e^x 和 dv = cos(x) dx。

   计算得到： du = e^x dx 和 v = sin(x)。

   代入分部积分公式：

   ∫ e^x * cos(x) dx = e^x * sin(x) - ∫ (sin(x) * e^x) dx

5. 代换求解：

   将步骤 4 中的结果代入步骤 3 的表达式：

   ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) + (e^x * sin(x) - ∫ (e^x * sin(x)) dx)

   我们发现等式两边都出现了 ∫ e^x * sin(x) dx。 将其移至等式左侧：

   2∫ e^x * sin(x) dx = e^x * sin(x) - e^x * cos(x)

   最终解得：

   ∫ e^x * sin(x) dx = (1/2) * (e^x * sin(x) - e^x * cos(x)) + C

   其中，C 为积分常数。

结论：

e^x * sin(x) 的不定积分为 (1/2) * (e^x * sin(x) - e^x * cos(x)) + C，其中 C 为积分常数。