离散数学：传递闭包的另一种表达形式

传递闭包的另一种表达形式: t(R) = R ∪ R² ∪ R³ ∪ ... ∪ Rⁿ

该表达形式的合理性: 传递闭包的定义是将关系R中所有可达的元素加入到R中，而可达的元素可以通过一系列的R关系得到。因此，我们可以将R的所有幂次方都加入到R中，这样就可以包含所有可达的元素。因此，我们可以得到上述的传递闭包式子。

证明传递闭包的式子确实是关系R的传递闭包: 首先，显然R的幂次方都包含了R的所有可达元素，因此将它们并集起来得到的集合也一定包含了R的所有可达元素。其次，我们需要证明这个集合是R的传递闭包。对于任意的a, b∈ R，如果a与b可达，即存在一条路径a → c₁ → c₂ → ... → b，其中c₁, c₂, ...都属于R，那么根据定义，c₁, c₂, ...也属于R的幂次方。因此，a, b也属于R的幂次方的并集，即属于上述的传递闭包式子。因此，这个式子确实是R的传递闭包。

两种表达形式的联系: 上述的传递闭包式子和书上的式子有很多相似之处，它们都是将R的幂次方加入到R中来得到传递闭包。但是，它们的不同之处在于，上述的式子是将R的所有幂次方都加入到R中，而书上的式子是将R的幂次方从2开始，一直加到k-1次方。这是因为在大多数情况下，R的传递闭包不需要将所有的幂次方都加入到R中，只需要加入到k-1次方即可。但是，在某些特殊情况下，需要将所有的幂次方都加入到R中，例如当R为自反关系时。