离散数学中关于R的传递闭包t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rᵏ⁻¹ 的详细解释

在离散数学中，关系R的传递闭包是指将关系R中所有可以通过有限次转换到达的元素对加入关系中，得到的新的关系。书上通常给出的传递闭包计算公式为：t(R)= R∪R²∪R³∪....U Rᵏ⁻¹，其中k是关系R中最大路径长度。

本文将详细分析这个公式，并提出一个新的传递闭包公式，并从合理性、证明和与原公式的联系三个方面进行详细解释。

1. 自己总结的传递闭包式子

自己总结的传递闭包式子为：t(R) = R∪R³∪R⁵∪...U R²∪R⁴∪R⁶∪...，其中第一部分是奇数次幂的集合，第二部分是偶数次幂的集合。

2. 式子的合理性

这个式子的合理性在于，传递闭包的定义是将关系中所有可以通过有限次转换到达的元素对加入关系中。也就是说，如果元素 a 可以通过一定的转换到达元素 b，那么 a 和 b 就应该在关系中有一条边相连。因此，如果关系 R 中存在从 a 到 b 的路径，那么 a 和 b 的距离可以是任意的奇数或偶数，因此需要考虑所有奇数次幂和偶数次幂的情况，才能确保传递闭包的正确性。

3. 式子的证明

为了证明这个式子确实是关系 R 的传递闭包，需要证明它具有传递性、自反性和对称性。

传递性： 假设存在 aRc 和 cRb 成立，那么 a 和 c 之间的距离为奇数，c 和 b 之间的距离为偶数。因此，a 和 b 之间的距离可以是任意的奇数或偶数，因此 aRb 成立，即这个式子具有传递性。
自反性： 对于任意元素 a，它与自身的距离为 0，因此 aRa 成立，即这个式子具有自反性。
对称性： 假设存在 aRb，那么 a 和 b 之间的距离可以是任意的奇数或偶数，因此 bRa 也成立，即这个式子具有对称性。

综上所述，这个式子确实也是关系 R 的传递闭包。

4. 与书上给的式子t(R) = R∪R²∪R³∪....U Rᵏ⁻¹ 的联系

与书上给的式子 t(R) = R∪R²∪R³∪....U Rᵏ⁻¹ 相比，两者的区别在于幂的取值不同。书上给的式子中，幂的取值是从 2 到 k-1，而自己总结的式子中，幂的取值是从 3 开始的奇数次幂和偶数次幂。这个区别在于对于距离为 1 的元素对，书上的式子中会直接加入到关系中，而自己总结的式子中需要通过距离为 2 的元素对来加入。因此，自己总结的式子相对于书上的式子，会更加严谨，但计算的复杂度也会更高。

总结

本文通过分析书上给出的传递闭包公式，提出一个新的传递闭包公式，并从合理性、证明和与原公式的联系三个方面进行详细解释。新的公式更严谨，但计算复杂度更高。希望本文能帮助读者更好地理解和运用传递闭包的概念。