求解与双曲线x^2/12-y^2/3=1共渐近线且过点(6,1)的双曲线

首先我们观察原双曲线的标准方程：

$$ \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1 $$

将其化简为标准双曲线方程：

$$ \frac{(x-\sqrt{12})\cdot(x+\sqrt{12})}{12}-\frac{(y-\sqrt{3})\cdot(y+\sqrt{3})}{3}=1 $$

双曲线的渐近线方程为：

$$ \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=0 $$

即

$$x^2-4y^2=0$$

解这个方程，得到两条直线：

$$y=\frac{x}{2}$$

$$y=-\frac{x}{2}$$

我们要找的双曲线必须与这两条直线有着相同的渐近线。

我们可以尝试用双曲线的一般式来表示它：

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

其中$a$和$b$分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。

我们要求的双曲线经过点$(6,1)$，因此带入这个点的坐标，得到：

$$ \frac{6^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1 $$

化简得：

$$ \frac{36}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1 $$

再次观察原双曲线的标准方程：

$$ \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1 $$

可以发现，$a=\sqrt{12}$，$b=\sqrt{3}$。

将这些值带入上式，得到：

$$ \frac{36}{12}-\frac{1}{3}=1 $$

因此，

$$ \frac{1}{a^2}=\frac{1}{12} $$

$$ \frac{1}{b^2}=\frac{1}{3} $$

代入双曲线的一般式中，得到：

$$ \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1 $$

这个双曲线与原双曲线有着相同的渐近线，且经过点$(6,1)$。