雪堆博弈：纳什均衡策略分析

雪堆博弈是一种两人零和博弈，其规则如下：

有一个初始高度为 'n' 的雪堆，两个玩家轮流进行操作，每次操作可以将雪堆分成两个非空的部分，其中一个部分高度必须为 'k' 的倍数（'k' 是预先确定的正整数），另一个部分的高度任意，然后取走高度为 'k' 的倍数的那个部分。最后无法继续操作的人输。

问：对于任意的 'n' 和 'k'，是否存在纳什均衡策略？

答案是存在。具体来说，我们可以考虑进行数学归纳法证明。

当 'n=k' 时，只有一种操作可行，即将雪堆分成两个高度为 'k' 和 '0' 的部分，取走高度为 'k' 的部分。这是一个终止状态，先手必胜。

当 'n>k' 时，我们可以考虑以下策略：

如果 'n' 是 'k' 的倍数，则先手可以将雪堆分成两个高度均为 'n/2' 的部分，这样后手无论取哪个部分，先手都可以取走另一个部分中的高度为 'k' 的倍数。
如果 'n' 不是 'k' 的倍数，则先手可以将雪堆分成两个高度为 'k' 的倍数和 'n-k' 的部分，这样后手必须取走高度为 'k' 的倍数的那个部分，然后先手可以继续将剩下的部分分成两个高度为 'k' 的倍数和 'n-2k' 的部分，重复上述策略，直到后手无法继续操作为止。

通过归纳法，我们可以证明对于任意的 'n' 和 'k'，上述策略都构成了一个纳什均衡。因此，无论先手还是后手都有必胜的策略。