口罩共享方案优化：基于最小费用流和贪心算法的配送策略

由于新冠肺炎疫情影响，医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩，于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭，了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量，有些家庭是口罩数量不足，而有些家庭是有充足的口罩，如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。

| 家庭 | 拥有口罩数 (个/周) | 最低需求口罩数 (个/周) | 横坐标 x | 纵坐标 y | |---|---|---|---|---| | 班主任 | 30 | 35 | 30 | 35 | | 学生 1 | 18 | 12 | 14 | 15 | | 学生 2 | 23 | 17 | 14 | 9 | | 学生 3 | 10 | 0 | 15 | 9 | | 学生 4 | 15 | 25 | 4 | 8 | | 学生 5 | 13 | 10 | 8 | 10 | | 学生 6 | 20 | 20 | 12 | 8 | | 学生 7 | 20 | 25 | 13 | 18 | | 学生 8 | 32 | 15 | 7 | 11 | | 学生 9 | 15 | 18 | 11 | 18 | | 学生 10 | 24 | 9 | 23 | 24 | | 学生 11 | 3 | 8 | 15 | 4 | | 学生 12 | 33 | 3 | 17 | 10 | | 学生 13 | 34 | 26 | 5 | 9 | | 学生 14 | 37 | 23 | 19 | 27 | | 学生 15 | 18 | 4 | 11 | 5 | | 学生 16 | 42 | 8 | 20 | 7 | | 学生 17 | 50 | 23 | 2 | 6 | | 学生 18 | 53 | 16 | 10 | 8 | | 学生 19 | 55 | 38 | 11 | 18 | | 学生 20 | 7 | 42 | 13 | 18 |

1. 最省钱的家访方案

表 1 显示了班主任和各个学生的家庭地址地理坐标（单位 km）。班主任想针对这个方案到那些口罩充足的学生家里做一次方案说明的家访。考虑到这些家庭地址不同以及节约时间，班主任想一次性完成这些学生的家访。假设班主任采用滴滴打车方式，请为这位班主任设计一个最省钱的家访方案。

解决方法: 使用贪心算法，首先计算班主任到各个口罩充足的家庭的距离，然后依次选择距离最近的未访问家庭作为下一个访问点，直到所有口罩充足的家庭都被访问。

MATLAB 代码:

%输入口罩充足的家庭坐标
coord = [32 15; 24 9; 34 26; 37 23; 33 3; 42 8; 50 23; 53 16; 55 38; 7 42];

%输入班主任坐标
start_coord = [30 35];

%计算班主任到各个口罩充足的家庭的距离
distances = zeros(length(coord),1);
for i = 1:length(coord)
distances(i) = sqrt((start_coord(1)-coord(i,1))^2 + (start_coord(2)-coord(i,2))^2);
end

%根据距离从小到大排序
[sorted_distances, index] = sort(distances);

%依次选择最近的未访问家庭作为下一个访问点
path = [start_coord; coord(index,:)];
visited = zeros(length(coord),1);
visited(index(1)) = 1;
for i = 2:length(coord)
    min_distance = Inf;
    min_index = 0;
    for j = 1:length(coord)
        if visited(j) == 0 && distances(j) < min_distance
            min_distance = distances(j);
            min_index = j;
        end
    end
    path = [path; coord(min_index,:)];
    visited(min_index) = 1;
end

%计算所有访问点之间的距离和
total_distance = 0;
for i = 1:length(path)-1
total_distance = total_distance + sqrt((path(i,1)-path(i+1,1))^2 + (path(i,2)-path(i+1,2))^2);
end

%输出最短路程
fprintf('The shortest distance is %.2f km\n', total_distance);

2. 最省钱的口罩共享方案

了解到每个家庭均赞成此口罩共享方案，班主任决定让口罩充足的家庭快递部分口罩给缺乏口罩的家庭。当地针对医用口罩的快递收费标准是 0.5 元/个/ km。假设此方案所支付的快递费全部由学校承担，请为学校设计一套最省钱的口罩共享方案。

解决方法: 使用最小费用流模型，将口罩充足的家庭作为供应节点，口罩不足的家庭作为需求节点，通过快递配送将口罩从供应节点流向需求节点，使得总费用最小。

MATLAB 代码:

%输入每个家庭的供应量和需求量
supply = [30;23;34;37;33;42;50;53;55;7];
demand = [5;6;10;8;17;13;20;26;29;20];

%计算每对供应节点和需求节点的快递费用
distances = zeros(length(supply),length(demand));
for i = 1:length(supply)
    for j = 1:length(demand)
        distances(i,j) = sqrt((coord(i,1)-coord(supply_index(j),1))^2 + (coord(i,2)-coord(supply_index(j),2))^2);
    end
end
transport_cost = distances * 0.5;

%构建网络流模型
supply_nodes = 1:length(supply);
demand_nodes = (1:length(demand)) + length(supply);
num_nodes = length(supply) + length(demand) + 2;
num_arcs = length(supply) * length(demand) + length(supply) + length(demand);

%初始化边集合和边属性
arcs = zeros(num_arcs,3);
arc_costs = zeros(num_arcs,1);
arc_capacities = zeros(num_arcs,1);
count = 1;

%加入源点和汇点
for i = 1:length(supply_nodes)
arcs(count,:) = [num_nodes-1 supply_nodes(i) supply(i)];
arc_costs(count) = 0;
arc_capacities(count) = supply(i);
count = count + 1;
end
for i = 1:length(demand_nodes)
arcs(count,:) = [demand_nodes(i) num_nodes 0];
arc_costs(count) = 0;
arc_capacities(count) = demand(i);
count = count + 1;
end

%加入供应节点和需求节点
for i = 1:length(supply_nodes)
    for j = 1:length(demand_nodes)
        arcs(count,:) = [supply_nodes(i) demand_nodes(j) transport_cost(i,j)];
arc_costs(count) = transport_cost(i,j);
arc_capacities(count) = Inf;
count = count + 1;
    end
end

%运用最小费用流算法
[flow,cost] = min_cost_flow(arcs,arc_costs,arc_capacities,num_nodes,num_arcs,num_nodes-1,num_nodes);

%输出总费用
fprintf('The total cost is %.2f yuan\n', cost);

3. 更加节约成本的配送方案

班主任与各小区物业中心共同商量出了另一套方案。由快递公司设置几个快递点（三到五个），然后由这些快递点向缺乏口罩的家庭配送口罩，而不再由小区来分配口罩，另外口罩充足的家庭无需快递给其他家庭口罩。经协商，快递收费标准提高到 1 元/ km，且不考虑配送口罩的个数。但究竟快递中心点设在哪里，设置多少个仍是个问题。请设计一套节约成本的配送方案，并告知学校此方案是否可行（可以对比第 2 问中的方案）。

解决方法: 使用贪心算法，首先将所有家庭按照需求量从小到大排序，然后从需求量最小的家庭开始，选择距离其最近的快递点作为配送点，并将该家庭的需求量从快递点的供应量中扣除，直到所有家庭的需求量都被满足。

MATLAB 代码:

%重新计算每对供应节点和需求节点的快递费用
distances = zeros(length(supply),length(demand));
for i = 1:length(supply)
    for j = 1:length(demand)
        distances(i,j) = sqrt((coord(i,1)-coord(supply_index(j),1))^2 + (coord(i,2)-coord(supply_index(j),2))^2);
    end
end
transport_cost = distances * 1;

%按照需求量从小到大排序
[sorted_demand, index] = sort(demand);

%设定快递点个数
num_delivery_points = 4;

%初始化每个快递点的供应量
delivery_supply = zeros(num_delivery_points,1);
for i = 1:num_delivery_points
delivery_supply(i) = sum(supply) / num_delivery_points;
end

%初始化每个家庭的快递点编号
delivery_index = zeros(length(demand),1);

%依次将每个家庭分配到最近的快递点
for i = 1:length(demand)
    min_distance = Inf;
    min_index = 0;
    for j = 1:num_delivery_points
        distance = sqrt((coord(demand_index(index(i)),1)-coord(delivery_index(j),1))^2 + (coord(demand_index(index(i)),2)-coord(delivery_index(j),2))^2);
        if distance < min_distance && delivery_supply(j) >= demand(index(i))
            min_distance = distance;
            min_index = j;
        end
    end
delivery_index(index(i)) = min_index;
delivery_supply(min_index) = delivery_supply(min_index) - demand(index(i));
end

%计算总费用
total_cost = 0;
for i = 1:length(supply)
    for j = 1:length(demand)
        if delivery_index(j) ~= 0 && distances(i,demand_index(j)) < Inf
            total_cost = total_cost + transport_cost(i,demand_index(j)) * demand(j);
        end
    end
end

%输出总费用和快递点位置
fprintf('The total cost is %.2f yuan\n', total_cost);
fprintf('The delivery points are located at:\n');
for i = 1:num_delivery_points
fprintf('(%d,%d)\n', coord(delivery_index(i),1), coord(delivery_index(i),2));
end

结论: 与第二问相比，第三问的方案更加节约成本，因为快递费用提高到了1元/km，而且采用了快递点配送，避免了快递员在小区内来回送货的浪费。

总结

本文针对新冠肺炎疫情期间口罩配送问题，提出三种方案并使用 MATLAB 进行模拟和分析。第一方案通过贪心算法为班主任规划最省钱的家访路线；第二方案利用最小费用流模型优化口罩共享配送，最小化快递费用；第三方案通过设置快递点，减少配送距离和费用。这些方案为学校和社区管理部门提供了一些参考，帮助他们更有效地分配和配送口罩资源，缓解疫情期间的物资紧张状况。