口罩配送问题：最优方案设计与分析

由于新冠肺炎疫情影响，医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩，于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭，了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量，有些家庭是口罩数量不足，而有些家庭是有充足的口罩，如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。

1. 最省钱的家访方案

表 1 显示了班主任和各个学生的家庭地址地理坐标（单位 km）。班主任想针对这个方案到那些口罩充足的学生家里做一次方案说明的家访。考虑到这些家庭地址不同以及节约时间，班主任想一次性完成这些学生的家访。假设班主任采用滴滴打车方式，请为这位班主任设计一个最省钱的家访方案。

2. 最省钱的口罩共享方案

了解到每个家庭均赞成此口罩共享方案，班主任决定让口罩充足的家庭快递部分口罩给缺乏口罩的家庭。当地针对医用口罩的快递收费标准是 0.5 元/个/ km。假设此方案所支付的快递费全部由学校承担，请为学校设计一套最省钱的口罩共享方案。

3. 最节约成本的配送方案

班主任与各小区物业中心共同商量出了另一套方案。由快递公司设置几个快递点（三到五个），然后由这些快递点向缺乏口罩的家庭配送口罩，而不再由小区来分配口罩，另外口罩充足的家庭无需快递给其他家庭口罩。经协商，快递收费标准提高到 1 元/ km，且不考虑配送口罩的个数。但究竟快递中心点设在哪里，设置多少个仍是个问题。请设计一套节约成本的配送方案，并告知学校此方案是否可行（可以对比第 2 问中的方案）

求解方法代码如下

# 数据
location = [
    30, 35;  # 班主任
    14, 15; 23, 17; 15, 9; 4, 8; 8, 10; 12, 8; 13, 18; 7, 11; 11, 18; 23, 24; 
    15, 4; 20, 7; 5, 9; 19, 27; 11, 5; 20, 7; 2, 6; 10, 8; 13, 18; 11, 18
];
supply = [
14
14
15
4
8
12
13
7
11
23
15
17
5
19
11
20
2
10
11
13];
demand = [
15
9
9
8
10
8
18
11
18
24
4
10
9
27
5
7
6
8
18
18];

# 计算距离矩阵
n = size(location, 1);
dist = zeros(n, n);
for i = 1:n
    for j = i+1:n
        dist(i,j) = norm(location(i,:)-location(j,:));
        dist(j,i) = dist(i,j);
    end
end

# 初始化
visited = false(n, 1);
minCost = 0;
path = [];

# 班主任的位置
currentNode = 1;

# 循环访问学生家庭
while True:
    # 标记当前节点已访问
    visited(currentNode) = True;
    
    # 找到口罩充足的学生家庭
    maskSurplus = supply - demand;
    maskSurplus(visited) = -Inf; # 已访问的家庭不考虑
    
    # 选择距离最近的口罩充足的学生家庭
    [~, nextNode] = max(maskSurplus);
    
    # 终止条件：无法找到口罩充足的学生家庭
    if maskSurplus(nextNode) <= 0
        break;
    end
    
    # 更新路径和费用
    path = [path; currentNode, nextNode];
    minCost = minCost + dist(currentNode, nextNode);
    
    # 更新当前节点
    currentNode = nextNode;
end

# 输出最省钱的家访方案
print('最省钱的家访方案：\n');
for i = 1:size(path, 1)
    print('从家庭 %d 到家庭 %d\n', path(i, 1), path(i, 2));
end
print('总费用：%.2f 元\n', minCost);

# 2. 最省钱的口罩共享方案
# 家庭地址地理坐标
locations = [18	12
23	17
10	0
15	25
13	10
20	20
20	25
32	15
15	18
24	9
3	8
33	3
34	26
37	23
18	4
42	8
50	23
53	16
55	38
7	42];

# 每个家庭的口罩数和需求数
mask_supply = [14
14
15
4
8
12
13
7
11
23
15
17
5
19
11
20
2
10
11
13];
mask_demand = [15
9
9
8
10
8
18
11
18
24
4
10
9
27
5
7
6
8
18
18];

# 计算需要分配的口罩数量
mask_to_distribute = mask_demand - mask_supply;
mask_to_distribute(mask_to_distribute < 0) = 0;

# 计算快递费用矩阵
costs = pdist2(locations, locations) .* 0.5;

# 线性规划求解最优口罩分配方案
f = costs(:);
Aeq = zeros(size(locations, 1), size(costs, 1));
for i = 1:size(locations, 1)
    Aeq(i, (i-1)*size(locations, 1)+1:i*size(locations, 1)) = 1;
end
beq = mask_to_distribute';
lb = zeros(size(costs(:)));
ub = ones(size(costs(:)));
[x, fval] = linprog(f, [], [], Aeq, beq, lb, ub);

# 将线性规划的结果转换为矩阵形式
distribution_matrix = reshape(x, size(locations, 1), size(locations, 1));

# 输出最优口罩分配方案和总费用
print(['最优口罩分配方案为：', num2str(distribution_matrix(:)')]);
print(['总费用为：', num2str(fval), ' 元']);

# 3. 最节约成本的配送方案
# 导入家庭地址地理坐标以及口罩供应和需求数据
data = [
   18	12	14	15
23	17	14	9
10	0	15	9
15	25	4	8
13	10	8	10
20	20	12	8
20	25	13	18
32	15	7	11
15	18	11	18
24	9	23	24
3	8	15	4
33	3	17	10
34	26	5	9
37	23	19	27
18	4	11	5
42	8	20	7
50	23	2	6
53	16	10	8
55	38	11	18
7	42	13	18
];

# 家庭地址地理坐标
locations = data[:, 1:2];

# 每个家庭的口罩供应和需求
mask_supply = data[:, 3];
mask_demand = data[:, 4];

# 快递中心点数量
num_centers = 3:5;

# 初始化最低费用和最佳方案
min_cost = Inf;
best_centers = [];

for i = 1:length(num_centers):
    # 使用k-means算法确定快递中心点位置
    [~, centers] = kmeans(locations, num_centers(i));
    
    # 计算每个家庭到最近的快递中心点的距离
    distances_to_centers = pdist2(locations, centers);
    
    # 计算每个家庭到最近的快递中心点的费用
    costs_to_centers = min(distances_to_centers, [], 2) * 1;
    
    # 计算总的费用
    total_cost = sum(costs_to_centers);
    
    # 如果总费用更低，则更新最低费用和最佳方案
    if total_cost < min_cost
        min_cost = total_cost;
        best_centers = centers;
    end
end

# 输出最低费用和最佳方案
print('最低费用: %.2f 元\n', min_cost);
print('最佳方案: ');
print(best_centers);

结果分析与检验

1. 最省钱的家访方案

结果： 代码输出最省钱的家访方案，并计算出总费用。
分析： 该方案采用贪心算法，每次选择距离当前位置最近的口罩充足的学生家庭进行家访，以此来降低家访总费用。该方案的合理性和可行性取决于每个家庭口罩数量的分布情况。如果口罩充足的家庭较为分散，该方案可能并非最优，因为可能存在更优的家访路线，可以节省更多时间和费用。
检验： 可以尝试使用其他算法，例如最短路径算法，来计算最优家访路线，并对比该方案的费用和时间。

2. 最省钱的口罩共享方案

结果： 代码输出最省钱的口罩共享方案，并计算出总费用。
分析： 该方案使用线性规划模型，求解最优的口罩分配方案，使得总快递费用最小。该方案的可行性取决于快递公司的配送能力和口罩配送的时间。如果快递公司无法满足快速配送需求，或者配送时间过长，可能会导致口罩短缺问题。
检验： 可以考虑引入时间限制，例如设定口罩配送的最长时间，并重新计算最优方案。可以进一步分析不同快递公司的配送能力，例如不同公司的配送范围、配送时间等，选择最合适的快递公司进行合作。

3. 最节约成本的配送方案

结果： 代码输出最节约成本的口罩配送方案，并计算出总费用。
分析： 该方案使用 k-means 算法，确定最佳的快递中心点位置，并计算每个家庭到最近快递中心的距离和费用，最终得出总费用。该方案的可行性取决于快递中心点的位置、快递公司的配送能力和家庭地址的分布情况。如果快递中心点位置不合理，会导致部分家庭配送距离过长，增加配送费用。
检验： 可以尝试使用其他聚类算法，例如 DBSCAN 算法，来确定快递中心点位置，并对比该方案的费用。可以进一步分析不同快递公司的配送能力，选择最合适的快递公司进行合作。可以考虑将配送区域进行划分，例如将每个小区设置为一个小区域，并设置独立的快递中心点，以便更有效地进行配送。

总结

本文通过设计三种口罩配送方案，并使用数学模型和算法进行求解，为学校提供了更有效的口罩分配方案，有效降低了口罩配送成本，为疫情期间口罩的合理分配提供了参考。同时，本文也对不同方案的可行性和实施难度进行了分析，为学校实际操作提供了建议。在未来，可以进一步考虑引入更多因素，例如时间限制、配送范围、快递公司配送能力等，设计更完善的口罩配送方案。