口罩配送问题：最优方案设计与成本优化

由于新冠肺炎疫情影响，医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩，于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭，了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量，有些家庭是口罩数量不足，而有些家庭是有充足的口罩，如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。

问题分析

本文从以下三个方面对口罩配送问题进行分析和优化：

最省钱的家访方案： 班主任想针对这个方案到那些口罩充足的学生家里做一次方案说明的家访。考虑到这些家庭地址不同以及节约时间，班主任想一次性完成这些学生的家访。假设班主任采用滴滴打车方式，请为这位班主任设计一个最省钱的家访方案。
最省钱的口罩共享方案： 了解到每个家庭均赞成此口罩共享方案，班主任决定让口罩充足的家庭快递部分口罩给缺乏口罩的家庭。当地针对医用口罩的快递收费标准是 0.5 元/个/ km。假设此方案所支付的快递费全部由学校承担，请为学校设计一套最省钱的口罩共享方案。
节约成本的配送方案： 班主任与各小区物业中心共同商量出了另一套方案。由快递公司设置几个快递点（三到五个），然后由这些快递点向缺乏口罩的家庭配送口罩，而不再由小区来分配口罩，另外口罩充足的家庭无需快递给其他家庭口罩。经协商，快递收费标准提高到 1 元/ km，且不考虑配送口罩的个数。但究竟快递中心点设在哪里，设置多少个仍是个问题。请设计一套节约成本的配送方案，并告知学校此方案是否可行（可以对比第 2 问中的方案）。

模型建立与求解

最省钱的家访方案

模型建立: 问题一可以建立一个旅行商问题（TSP）模型，以班主任为起点，每个口罩充足的学生家庭为节点，口罩充足的学生家庭之间的距离为边，求解最短路径和最小费用。
求解方法: 可以采用贪心算法或动态规划算法求解最短路径和最小费用。

最省钱的口罩共享方案

模型建立: 问题二可以建立一个线性规划模型，以每个家庭为节点，口罩充足的家庭不需要分配口罩，口罩不足的家庭需要从其他家庭购买或获得快递配送，通过最小化快递费用，求解最优的口罩分配方案和最小费用。
求解方法: 可以采用线性规划求解最优口罩分配方案和最小费用，可以使用MATLAB中的'linprog'函数求解。

节约成本的配送方案

模型建立: 问题三可以采用'k-means'算法确定快递中心点位置，计算每个家庭到最近的快递中心点的距离和费用，并将问题转化为一个最小化总费用的问题，通过不同快递中心点数量的尝试，求解最低费用和最佳方案。
求解方法: 可以采用'k-means'算法确定快递中心点位置，可以使用MATLAB中的'kmeans'函数实现。可以通过循环尝试不同快递中心点数量，计算每个家庭到最近的快递中心点的距离和费用，并求解最低费用和最佳方案。

代码实现

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结论与建议

本文通过旅行商问题模型、线性规划模型和'k-means'算法等方法，为学校设计了三种口罩配送方案，并对每种方案的优劣进行了分析和比较。最终结果表明，基于快递中心点的配送方案能够有效降低配送成本，并提高配送效率，为学校提供更科学、高效的口罩配送方案。

同时，本文也提出了一些建议：

应根据实际情况选择合适的配送方案，并及时调整方案，以适应疫情形势的变化。
应加强与相关部门的沟通协调，共同做好口罩配送工作。
应加强宣传引导，提高学生及家长对口罩共享方案的认识和理解，共同参与到口罩配送工作中。

参考文献

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