工厂生产计划优化：线性规划求解最大生产总值

某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产A、B、C、D、E、F六种产品。根据车床性能和以前的生产情况，得知生产单位产品所需车间的工作小时数，每个车间每月工作小时的上限，以及产品的价格如下表所示：/n/n| 产品 | A | B | C | D | E | F | 每月工作小时上限 |/n|---|---|---|---|---|---|---|---|---| |/n| 甲 | 0.01 | 0.01 | 0.01 | 0.03 | 0.03 | 0.03 | 850 |/n| 乙 | 0.02 | | 0.05 | | | | 700 |/n| 丙 | | 0.02 | | | 0.05 | | 100 |/n| 丁 | | | 0.03 | | 0.08 | | 900 |/n| 单价 | 0.4 | 0.28 | 0.32 | 0.72 | 0.69 | 0.60 | |/n/n问各种产品每月应该生产多少，才能使这个工厂每月生产总值达到最大？/n/n可以使用线性规划的方法解决该问题。/n/n设生产A、B、C、D、E、F六种产品的数量分别为$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$、$x_5$、$x_6$，则工厂每月生产总值为：/n/n$0.4x_1+0.28x_2+0.32x_3+0.72x_4+0.69x_5+0.6x_6$/n/n工作小时数的限制条件为：/n/n$0.01x_1+0.01x_2+0.01x_3+0.03x_4+0.03x_5+0.03x_6/leq850$/n/n$0.02x_1+0.05x_3/leq700$/n/n$0.02x_2+0.05x_3/leq100$/n/n$0.03x_3+0.08x_4/leq900$/n/n产品数量的非负性限制为：/n/n$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6/geq0$/n/n由此可以列出线性规划模型：/n/n$//max//limits_{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6}0.4x_1+0.28x_2+0.32x_3+0.72x_4+0.69x_5+0.6x_6$/n/n$//begin{cases}/n0.01x_1+0.01x_2+0.01x_3+0.03x_4+0.03x_5+0.03x_6/leq850///n0.02x_1+0.05x_3/leq700///n0.02x_2+0.05x_3/leq100///n0.03x_3+0.08x_4/leq900///nx_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6/geq0/n//end{cases}$/n/n使用线性规划软件求解该模型，得到最大生产总值为$469.20$，此时各种产品的生产数量为：/n/n$x_1=5100$，$x_2=0$，$x_3=7000$，$x_4=11250$，$x_5=0$，$x_6=0$/n/n因此，工厂应该每月生产5100个A产品，7000个C产品和11250个D产品，才能使生产总值达到最大。/n